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\title{Appunti di Probabilità}
\author{Pietro Battiston}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

\newcommand{\mc}{\mathcal}
\newcommand{\mb}{\mathbb}
\newcommand{\mf}{\mathfrak}
\newcommand{\spp}{(\Omega, \mc A, P)}
\newcommand{\spm}{(E, \mc E)}
\newcommand{\spmd}{(F, \mc F)}
\newcommand{\spM}{(E, \mc E, \mu)}
\newcommand{\RA}{\Rightarrow}
\newcommand{\ra}{\rightarrow}
\newcommand{\lra}{\longrightarrow}
\newcommand{\LA}{\Leftarrow}
\newcommand{\LR}{\Leftrightarrow}
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\newcommand{\erre}{{\mb R}}
\newcommand{\enne}{{\mb N}}
\newcommand{\ci}{\mb C}
\newcommand{\qu}{{\mb Q}}
\newcommand{\interre}{\int_\erre}
\newcommand{\intrpos}{\int_0^{+ \infty}}
\newcommand{\pnfty}{{+ \infty}}
\newcommand{\dfn}{\stackrel{def}{=}}
\newcommand{\rn}{{\mb R^n}}
\newcommand{\nlc}{(\nu_x)}
\newcommand{\LdP}{{\mc {L} ^ 2 (P)}}
\newcommand{\eMlx}{{e^{-\lambda x}}}
\newcommand{\usdp}{\frac{1}{2\pi}}
\newcommand{\mezzo}{\frac{1}{2}}
\newcommand{\succx}{{(X_n)_{n > 1}}}
\newcommand{\convinl}{\stackrel{\genfrac{}{}{0cm}{1}{\text{in}}{\text{legge}}}{\ra}}

\usepackage{amsmath}

\newtheorem{smp}{Esempio}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{teo}{Teorema}
\newtheorem{prp}[teo]{Proposizione}
\newtheorem{cor}[teo]{Corollario}
\newtheorem{lem}[teo]{Lemma}
\begin{document}

\date{4 Marzo 2008}
\maketitle
\begin{abstract}

Questi sono gli appunti che ho preso durante le lezioni del corso di Probabilità tenuto dal prof. Giorgio Letta nel primo semestre 2006-2007.\\
La responsabilità di qualsiasi castroneria - e sicuramente ce ne sono parecchie - è però totalmente mia.\\
Non ci rimetterò spontaneamente le mani sopra. Se però mi viene segnalato qualche errore (toobaz CHIOCCIOLA email PUNTO it), sarò lieto di correggerlo.\\
Se vi tornano utili, ringraziate anche Marko Weber, i cui appunti hanno supplito ai miei nei punti in cui la sonnolenza li aveva resi illeggibili ed incoerenti.\\
Buona lettura.\\

\end{abstract}

\section{Definizioni fondamentali}
Per potere affrontare in modo rigoroso lo studio della probabilità, ci baseremo sulla \emph{teoria della misura}.

\subsection{Tribù}

Dato un insieme $E$, una famiglia di insiemi $\mathcal E \subset \mathcal P (E)$ è una \emph{tribù} (o \emph{$\sigma$-algebra}) se soddisfa le seguenti proprietà:
\begin{enumerate}
 \item $\mathcal E$ è stabile per le operazioni di unione numerabile e intersezione numerabile
 \item $\mathcal E$ è stabile per l'operazione di passaggio al complementare rispetto ad $E$
 \item $E \in \mathcal E$ (e quindi, per la proprietà b), $\emptyset \in \mathcal E$)
\end{enumerate}

Osserviamo che i requisiti (1) e (2) sono ridondanti, dato che un insieme chiuso per unione numerabile e passaggio al complementare sarà anche chiuso per intersezione numerabile.\\
Invece il requisito (3) è non banale, perché ci dice che $\emptyset \subset \mathcal P (E)$ non è una tribù.


\subsection{Misure}

Uno \emph{spazio misurabile} è una coppia $(E, \mathcal E)$ di un insieme ed una sua tribù. Un qualsiasi $X \in \mathcal E$ si dice \emph{insieme misurabile}.\\

Si chiama \emph{misura} su $(E, \mathcal E)$ ogni $\mu : \mathcal E \rightarrow [0, +\infty]$ \emph{$\sigma$-additiva}, ovvero tale che:
\begin{itemize}
 \item $\mu(\emptyset) = 0$
 \item data una qualsiasi famiglia di cardinalità numerabile $\{ A_i\}_{i \in I} \subset \mathcal E$ tale che $i\not = j \Rightarrow A_i \cap A_j = \emptyset$, si abbia:
$$\mu \bigcup_{i\in I}A_i = \sum_{i\in I} \mu(A_i)$$
\end{itemize}

Se $\mu$ è una misura su  $(E, \mathcal E)$, la tripletta  $(E, \mathcal E, \mu)$ si dice \emph{spazio misurato}, e per ogni insieme $A \in \mathcal E$, $\mu(A)$ si dice \emph{misura di $A$} (secondo $\mu$).\\
$\mu(E)$ si dice \emph{massa totale} di $\mu$.

Una misura gode sempre delle seguenti proprietà:

\subsubsection{Isotonia}


$$A \subset B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B) $$

Infatti $A \subset B \Rightarrow \mu(A) \leq  \mu(A +) \mu(B \setminus A) = \mu(A)  $

\subsubsection{Sottrattività}

$$A \subset B, \mu(A) < + \infty \Rightarrow \mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A)$$

Infatti $\mu(A) + \mu(B \setminus A) = \mu(B)$.\\

%***tornare a sinistra!***
Se $\mu(E) <  \infty$, $\mu$ si dice \emph{limitata}. Se $\mu(E)=1$, $\mu$ si dice \emph{normalizzata} (o \emph{misura di probabilità}). Se $0 < \mu(E) < + \infty$, $\mu$ è \emph{normalizzabile} e
$$\mu'(A) \stackrel{def}{=} \frac{\mu(A)}{\mu(E)}$$
è la \emph{misura normalizzata associata}.


\subsection{Ancora tribù}

\begin{oss} l'intersezione di una famiglia di tribù su $E$ è sempre una tribù su $E$.\\
 
\end{oss}

Sia ora $\mathcal I \subset \mc P (E)$ e sia $\mc F$ la famiglia di tribù contenenti $\mc I$.\\

Allora:
 $$\tau(\mc I)=\mc T(\mc I)\stackrel{def}{=}\bigcap_{\mc E \in \mc F} \mc E	$$

si dice \emph{tribù generata} da $\mc I$.

\begin{smp}
 dato $E$ qualsiasi, l'insieme $\{\emptyset\}$ genera la tribù $\{ \emptyset, E\}$, che però è generata anche dal semplice $\emptyset$ (dato che \emph{ogni} tribù su $E$ contiene $\emptyset$ e $E$).
\end{smp}

Si dice \emph{sistema di generatori} di una tribù $\mc E$ un insieme $\mc I$ tale che $\tau(\mc E) = \mc I$.

\subsection{Insiemi boreliani}

Sia definito su $E$ uno spazio topologico (denotiamo con $\mc F$ l'insieme dei chiusi \footnote{Dal francese \emph{``fermés''}} e con $\mc G$ l'insieme degli aperti).\\

Allora $\tau(\mc F) (=\tau (\mc G))$ è la \emph{tribù boreliana} di $E$ e si denota con $\mc B(E)$.\\

\begin{smp}
 $$\mc B (\mb R^2) = \tau \left ( \left \{ [a,b] \times [c,d] \mid a,b,c,d \in \mb R \right \} \right )$$
\end{smp}

Gli $X : X \in \mc B (E)$ si dicono \emph{insiemi boreliani} di $E$.

\begin{oss}
 Non si può definire costruttivamente e in generale la tribù boreliana senza utilizzare l'\emph{induzione transfinita}.
\end{oss}
\begin{oss}
 Si sa che $\mc B( \mb R^2) \not = \mc P (\mb R^2)$, ma la dimostrazione è non costruttiva: si basa sul fatto che i due insiemi hanno cardinalità diverse:
\[| \mc B( \mb R^2) | = \aleph_0 < 2^{\aleph_0} = | \mc P (\mc R^2) |\]
non sul fatto che un dato $X$ appartenga a $\mc P (\mb R^2)$ e non a $\mc B( \mb R^2)$.
\end{oss}

\subsubsection{Basi}

Vorremmo definire sui Boreliani di $\mc B(\mb R^2)$ una funzione $\mu$ che corrisponda al concetto intuitivo di \emph{area}. Cerchiamo quindi $\mu : \mc B (\mb R^2) \rightarrow [0, + \infty]$ che sia una misura ed inoltre sia tale che
\[\forall a,b,c,d \in \mc R\; \mu([a,b]\times[c,d]) = (b-a) (d-c)\]
Si dimostra che $\mu$ esiste e sotto tali condizioni ed è unica. Per la dimostrazione dell'esistenza, consideriamo che avendo definito la funzione sui rettangoli, che sono una base per tutti aperti, l'abbiamo automaticamente definita per gli aperti. Per estenderla agli insiemi non aperti, definiamo:
$$\mu(U)= \inf \{\mu(U')\mid U'\text{ aperto}, U \subset U'\}$$

La dimostrazione dell'unicità è elementare una volta introdotto il concetto di \emph{base}:\\

Si dice base per una tribù $\mc E$ su $E$ una famiglia $\mc I \subset \mc E$ tale che:
\begin{itemize}
 \item $\tau (\mc I) = \mc E$
 \item $\mc I$ sia stabile per intersezione finita
 \item $E$ sia unione numerabile di elementi di $\mc I$
\end{itemize}

Siano $\mu, \nu$ due misure limitate e coincidenti su una base di $\mc E$. Allora $\mu = \nu$.

\subsubsection{Caso discreto}

Dato $E$ numerabile, sia $\mc E = \mc P (E)$, ovvero l'unica algebra su $E$ in cui
\[\forall x \in E, \{x\} \in \mc E\]\\

Sia $\mu$ una misura normalizzata su E. Sia $f:E \rightarrow [0,1]$ definita come
\[f(x) = \mu\{x\}\]
Allora $f$ si dice \emph{densità discreta} di $\mu$. Ovviamente:
$$\sum_{x \in E} f(x) = \mu(E) = 1$$

Data poi:
$$f: E \rightarrow [0,1] \text{ con } \sum_{x \in E} f(x) =1$$

, esiste ed è unica una misura $\mu$ tale che $f$ sia la sua densità discreta. Infatti $\mu$ si definisce così: $$\mu(A)\stackrel{def}{=}\sum_{x \in A} f(x)$$

\begin{smp}
 Se $E$ è finito e $\forall x, y \in E\;\;\; f\{x\}=f\{y\}$, allora la misura $\mu$ associata a $f$ è $\mu(A)\stackrel{def}{=}k|A|$ (con $k=f\{x\}$) e si dice \emph{distribuzione uniforme}.
\end{smp}

\subsection{Misure diffuse}
$\mu$ su $(E, \mc E)$ si dice \emph{diffusa} se $\forall x \in E : \{x\} \in \mc E$ si ha $\mu\{x\}=0$.\\

Dato $E$, in quali casi esisteranno $\mc E, \mu$ tali che $\mu$ sia una misura normalizzata e diffusa su $\mc P(E)$?\\
A questa domanda ha parzialmente risposto nel 1923 Stephan Banach, dimostrando che se $E$ è numerabile, $\mu$ non può esistere:
\[(\forall x)f(x)=0  \Rightarrow \mu(E) =0\]
Nel 1929, un altro ``pezzo'' di risposta arrivò da Banach e Kuratowsky, che dimostrarono che se $|E|=|\mb R|$ e l'ipotesi del continuo è accettata, la risposta è nuovamente negativa: $\mu$ non può esistere.\\

%***argh, e allora la funzione lunghezza su [0,1]?!***

\section{Stessi concetti, nuovi termini}

La probabilità si fonda sugli stessi concetti della teoria della misura, ma parte da motivazioni ed utilizza terminologie diverse.\\

Uno \emph{spazio probabilizzabile} $(\Omega, \mc A)$ non è altro che uno spazio misurabile.\\
Uno \emph{spazio probabilizzato} $(\Omega, \mc A, P)$ non è altro che uno spazio misurato da una probabilità (misura normalizzata) P.\\

Per quel che riguarda la ``nuova interpretazione'', immaginiamo di osservare un esperimento, di cui $\Omega$ rappresenta l'insieme dei possibili risultati (\emph{eventualità a due a due escludentesi e comprendenti ogni possibilità}).\\

Dato uno spazio probabilizzato  $(\Omega, \mc A, P)$, un elemento $\omega$ di $\Omega$ viene detto \emph{eventualità}, un elemento $A$ di $\mc A$ \emph{evento}.\\

Si dice che un'eventualità $\omega$ \emph{realizza} un evento $A$ se $\omega \in A$.\\
$A^C \stackrel{def}{=} \Omega \setminus A$, il complementare di $A$, si dice \emph{negazione} di $A$.\\
In modo altrettanto intuitivo, dati due eventi $A,B$ avremo:

\begin{itemize}
 \item l'evento ``A \emph{o} B'' è $A \cup B$
 \item l'evento ``A \emph{e} B'' è $A \cap B$
 \item ``$A$ e $B$ sono \emph{incompatibili}'' $\Leftrightarrow A \cap B=\emptyset$
\end{itemize}

$P(A)$ è la \emph{probabilità di $A$} (secondo $P$)\footnote{Quando è evidente a quale probabilità (o misura) ci stiamo riferendo, ometteremo di specificarlo.}.\\
Si osserva facilmente che:$P(A^C)=1-P(A)$.\\

Si dice che un evento $A$ è \emph{quasi certo} se $P(A)=1$.

\subsection{Impostazione di uno spazio di probabilità}

Il primo passo nello studio di un esperimento aleatorio è sempre la scelta di $\Omega$, $\mc A$ e $P$.\\
La scelta di $\Omega$ stabilisce il \emph{codice} con cui interpretiamo l'esperimento ed eventualmente
dall'insieme di eventualità ``fittizie'' (non contemplate come risultato dell'esperimento reale) che vogliamo
introdurre; la scelta di $A$ dipende da \emph{cosa ci interessa} ma anche dalle capacità di analisi che abbiamo.\\
La probabilità $P$ vuole descrivere la situazione psicologica di un (intelligente) individuo sperimentatore;
ovviamente nella maggior parte dei casi ci saranno criteri che permettono di non dover definire $P$ per \emph{ogni}
evento: tipicamente, sarà sufficiente definire $P$ su una base.\\
È più o meno dal 1933, anno in cui Kolmogorov scrisse alcuni importanti lavori, che questi passaggi vengono ormai considerati indispensabili per parlare di
probabilità.

\begin{smp}
 supponiamo di lanciare $n$ volte una moneta, ad ogni lancio indichiamo con 1 ``testa'' e con 0 ``croce'':

$$n=1 \Rightarrow \Omega=\{0,1\}, \mc A = \mc P(\Omega), P=\text{ probabilità uniforme}$$
$$\text{in generale: } \Omega=\{0,1\}^n, \mc A = \mc P(\Omega), P=\text{ probabilità uniforme}$$

Un'eventualità sarà in questo caso un vettore di $0$ e $1$. La \emph{proiezione canonica $j$-esima}, ovvero la funzione:
$$X_j : \Omega \rightarrow \{0,1\} \text{ definita come } X_j((x_1, x_2 \dots x_n))=x_j$$
ci darà in questo caso l'esito del $j$-esimo lancio.
\end{smp}

Per semplicità di notazione, scriveremo $\{X_j = 1 \}$ per intendere 
\[\{w : X_j(w) = 1\}\]
ovvero l'evento
``al lancio $j$ esce testa'' (in generale, data una proprietà $\phi(x)$ indicheremo spesso con $\{ \phi(x) \}$ l'insieme - solitamente l'evento -
 $\{w : \phi(w) \}$).\\

Analogamente all'esempio dato, possiamo concepire lo stesso modello con $n=+ \infty$. In un tale esempio potremo
poi \emph{immergere} tutti gli altri casi.

Siano $\Omega = \{0,1\}^{\mb N^*}$ e $\mc A = \tau (\{\{x_j = 1 \} \mid j \in \mb N^*\})$.

Nel caso di $n$ finito, la probabilità uniforme non è altro che la pretesa che $\forall (x_1, \dots x_n) \;\;P(x_1 \dots x_n)=2^{-n}$.\\
Nel caso infinito, sarà possibile trovare una probabilità uniforme?\\
Osserviamo che se la probabilità uniforme esiste, certamente è unica, perché gli elementi ${(x_1 \dots x_n)}$ al variare di $n$ sono
una base. Inoltre si ha che certamente sotto una tale probabilità $x_i$ ha probabilità nulla $\forall i \in \mb N$.\\
La risposta è no: se trovassimo una tale probabilità su $P(\Omega)$, avremmo risolto il problema di Banach-Kuratovski.\\

\subsection{Generazione dei boreliani}

Vogliamo dimostrare che $\mc I = \{]- \infty , x\}_{x \in \mb Q}$ genera $\mc B (\mb R)$.\\
Per fare ciò, dimostriamo che $\mc I$ genera l'insieme $\mc G$ degli aperti: dato un aperto $U$, 
$x \in U \Rightarrow x \in \;]a,b] \subset U \Rightarrow x \in \text{\r{U}}$.\\
%***cacchio, ci sarà un modo di aggiungere un cerchietto!***
Quindi
\[U = \bigcup \{]a,b] \mid \;]a,b] \subset U\}\]
Ma $\forall a,b,$
$$]a,b] = ]- \infty, b] \setminus ]- \infty, a]$$
Possiamo considerare solo gli $a,b$ razionali e quindi vedere ogni aperto come unione numerabile di elementi di
$\tau(\mc I)$ e quindi come elemento di $\mc I$. Infine,
\[\mc G \subset \tau(\mc I) \Rightarrow \mc B (\mb R) \subset \tau (\mc I)\]

\begin{oss}
La \emph{funzione di ripartizione} di una misura $\mu$ su $\erre$ è
\[x \mapsto \mu(]- \infty, x])\]
Abbiamo quindi dimostrato che se due funzioni di probabilità hanno \emph{funzioni di ripartizione} uguali, sono uguali.
\end{oss}
\begin{oss}
 una tribù è chiusa anche per l'operazione di differenza insiemistica perché equivale all'intersezione di un insieme
con il complementare dell'altro.
\end{oss}

\subsection{Continuità}
Sia $(E, \mc E, \mu)$ uno spazio misurato qualsiasi.\\
Dimostriamo che $\mu$ è \emph{continua sulle successioni crescenti}, ovvero che:
$$A = \bigcup_{n \geq1}A_n, \;\forall n (A_n \subset A_{n+1}) \Rightarrow \mu (A_n) \uparrow \mu(A)$$
(con $\uparrow$ indichiamo ``\emph{tende dal basso a}'').\\
\begin{proof}
Se $\exists A_n : \mu(A_n)= + \infty$, per isotonia $\mu(A)= + \infty$. Possiamo quindi supporre
$\forall n \;\; \mu(A_n) < + \infty$.\\

Sia quindi $A_0=\emptyset$: osserviamo che
\begin{align*}
 A & = & \bigcup_{n \geq 1} (A_n \setminus A_{n-1})\\
& \Downarrow & \\
\mu(A) & = & \sum_{n \geq 1} \mu(A_n \setminus A_{n-1})\\
& = & \sum_{n \geq 1} \mu(A_n) - \mu(A_{n-1})\\
& = & \lim_{n \rightarrow + \infty} \sum_{k=1}^n \mu(A_k) - \mu(A_{k-1})\\
& = & \lim_{n \rightarrow + \infty} \mu(A_n) - \mu(A_0)\\
& = & \lim_n \mu(A_n)
\end{align*}
\end{proof}
Vorremo riutilizzare lo stesso schema di dimostrazione per dimostrare che $\mu$ è continua sulle successioni
\emph{decrescenti}. Dobbiamo però aggiungere un requisito, e cioé che $\mu(A_n) < \infty$ \emph{definitivamente}\footnote{A causa dell'ipotesi di decrescenza, è sufficiente supporre che $\mu(A_n)<\pnfty$ per un $n$ qualsiasi}.\\

Infatti se supponiamo vero questo fatto,
\begin{align*}
& A_1 \setminus A_n \uparrow A_1 \setminus A\\
\Rightarrow & \mu(A_1 \setminus A_n) \uparrow \mu (A_1 \setminus A)\\
\Rightarrow & \mu (A_1) - \mu(A_n) \uparrow \mu (A_1) -\mu(A)\\
\Rightarrow & \mu(A_n) \uparrow \mu(A)
\end{align*}

In definitiva, la continuità sulle successioni descrescenti si può esprimere come segue:
$$A = \bigcap_{n \geq1}A_n, \forall n (A_{n+1} \subset A_n ), \exists m (n>m \Rightarrow \mu(An) < \infty) \Rightarrow \mu (A_n) \downarrow \mu(A)$$

\begin{smp}
 mostriamo che se non supponiamo che $\mu(A_n) < \infty$ definitivamente, il risultato non vale: consideriamo su
$\mb R$ la \emph{misura di Borel-Lebesgue} (la ``lunghezza'' definita intuitivamente sugli intervalli ed estesa
ai Boreliani) e la successione $\{A_n\}_{n \in \mb N}$ con $A_n=[n, + \infty ]$:
\[ \mu(\bigcap_{n \geq1}A_n) = 0 \RA A_n \downarrow \emptyset\]
ma
\[\lim_{n \rightarrow \infty} \mu(A_n) = + \infty \not = P(\emptyset)=0\]
\end{smp}

\subsection{Limiti inferiori e superiori}

Definiamo:

$$\liminf_n A_n \stackrel{def}{=} \bigcup_k \bigcap_{n \geq k} A_n$$
($x \in \liminf_n An \Leftrightarrow x $ appartiene \emph{definitivamente} ad $A_n$)
$$\limsup_n A_n \stackrel{def}{=} \bigcap_k \bigcup_{n \geq k} A_n$$
($x \in \limsup_n An \Leftrightarrow x $ appartiene \emph{frequentemente} ad $A_n$)

\begin{oss}
 $$\left ( \liminf_n A_n \right )^C = \limsup_n (A_n^C)$$
\end{oss}

\begin{oss} 
 $$\forall n  (A_n \in \mc E )\Rightarrow \liminf_n A_n \in \mc E, \limsup_n A_n \in \mc E$$
\end{oss}

\subsubsection{Prima diseguaglianza di Fatou}
Consideriamo ora uno spazio metrico $(E, \mc E, \mu)$. Per definizione,
$$A = \liminf_n A_n \Rightarrow A= \bigcup_n B_n \text{, dove } B_n =\bigcap_{m \geq n} A_m$$

Osserviamo che $\forall n (B_n \subset A_n)$ e che $B_n \uparrow A$.\\

Da ciò deriva:
$$\mu(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(B_n) \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} \mu(A_n)$$
(ricordiamo infatti che $A_n$ è una qualsiasi successione di eventi, la cui misura può non avere limite; avrà
però limite inferiore)

Abbiamo appena dimostrato la \emph{prima diseguaglianza di Fatou}:

$$\mu(\liminf_n A_n) \leq \liminf_n \mu(A_n)$$

\subsubsection{\emph{Simmetricità} di $\liminf$ e $\limsup$}

Le seguenti definizioni alternative (che siano equivalenti a quelle già date, si verifica facilmente) di
limite superiore e limite inferiore mettono in risalto la simmetricità dei due concetti:

$$x \in \liminf_n A_n \Leftrightarrow |\{n \mid x \not \in A_n\}| < \infty$$
$$x \in \limsup_n A_n \Leftrightarrow |\{n \mid x \in A_n\}| \nleq \infty$$

Si potrebbe pensare che un risultato simile alla prima diseguaglianza di Fatou si possa trovare anche per il
limsup: è così, ma dobbiamo aggiungere un'ipotesi. Se infatti $\mu(\bigcup_n A_n) < \infty$ (e quindi tantopiù
se $\mu$ è finita), vale effettivamente:

$$\mu(\limsup_n A_n) \geq \limsup_n \mu(A_n)$$

Osserviamo infine che:
$$\begin{matrix}
   
\{A_n\}_{n \in \mb N} \text{ è monotona }\\
\Downarrow\\
\liminf_{n \rightarrow \infty} A_n = \limsup_{n \rightarrow \infty} A_n =
\lim_{n \rightarrow \infty} A_n = \begin{cases}
                                   \bigcup_n & \text{ se } A_n \text{ è crescente}\\
                                   \bigcap_n & \text{ se } A_n \text{ è decrescente}\\
                                  \end{cases}
  \end{matrix}
$$

\section{Applicazioni misurabili}

Siano $(E_1, \mc E_1)$ ed $(E_2, \mc E_2)$ due spazi misurabili, $f: E_1 \rightarrow E_2$ una funzione.\\

$f$ si dice \emph{misurabile} se $\forall A \in \mc E_2, f^{-1}(A) \in \mc E_1$

\begin{oss}
 si verifica facilmente che, date $f:(E_1, \mc E_1) \rightarrow (E_2, \mc E_2)$ e $g:(E_1, \mc E_1) \rightarrow (E_2, \mc E_2)$ misurabili, $f \circ g$ è misurabile.
\end{oss}

Consideriamo $f$ misurabile da $(E_1, \mc E_1)$ in $(E_2, \mc E_2)$ ed una misura $\lambda$ su $(E_1, \mc E_1)$.\\
Allora la funzione $\mu : \mc E_1 \rightarrow \mb R$ definita come:

$$\mu(A) \stackrel{def}{=}\lambda\left(f^{-1}(A)\right)$$

è una misura (la dimostrazione è piuttosto immediata, basandosi su alcune proprietà della controimmagine) e viene detta \emph{misura immagine di $\lambda$ mediante $f$} (scriveremo $\mu=f(\lambda)$).

\begin{oss}\label{transit}
 vale la \emph{proprietà di transitività}\footnote{Sebbene scritta così la proprietà possa sembrare banale, ovvero coincidente con la definizione di composizione di funzioni, non lo è secondo il significato di $f(\lambda)$ appena dato.}: $(g \circ f) (\lambda) = f(g(\lambda))$.\\

La dimostrazione è ovvia perché $(g \circ f)^{-1}(A) = f^{-1}\left (g^{-1}(A) \right)$.
\end{oss}

\subsection{Variabili aleatorie}

Dati uno spazio probabilizzabile $(\Omega, \mc A)$ ed uno spazio misurabile $(E, \mc E)$, una funzione misurabile $X: \Omega \rightarrow E$ si dice \emph{variabile aleatoria su $(\Omega, \mc A)$ a valori in $(E, \mc E)$}.\\

Scriveremo $\{X \in A \}$ per indicare $X^{-1}(A) = \{ \omega \in \Omega \mid X(\omega) \in A\}$.\\

$\left \{\{X \in A\} \mid A \in \mc E \right \}$ è \emph{l'insieme degli eventi esprimibili mediante $X$} e si
verifica facilmente (sempre per le proprietà della controimmagine) che è una tribù. Più precisamente, è la più
piccola tribù su $\Omega$ che renda $X$ misurabile. La indicheremo con $\tau(X)$ e chiameremo \emph{tribù generata} o \emph{tribù indotta} da $X$. Sarà la tribù che effettivamente prenderemo più spesso in considerazione: ci allargheremo allo studio di tutta $\mc A$ solo quando avremo la necessità di studiare \emph{diverse} variabili aleatorie contemporaneamente.

\subsection{Criterio fondamentale di misurabilità}

Siano $(\Omega, \mc A)$ uno spazio probabilizzabile, $(E, \mc E)$ uno spazio misurabile ed $X$ una funzione da $\Omega$ in $E$.\\
Sia inoltra $\mc I$ un sistema di generatori per $\mc E$.\\
Allora $X$ è misurabile $\Leftrightarrow \forall A \in \mc I\;\; \{X \in A\} \in \mc A$.\\

\begin{proof} sia $\mc F = \{A \in \mc P(E) \mid \{X \in A\} \in \mc A\}$. È evidente che $\mc F$ è una tribù su $E$. Inoltre $\mc F \supset \mc I  \Rightarrow \mc F \supset \tau(\mc I) =\mc E$. \end{proof}

\begin{smp}
 siano $(E, \mc E) = (\mb R, \mc B(\mb R))$ e $X: \Omega \rightarrow \mb R$.\\
Ricordiamo che $\mc I = \{ ] - \infty, x] \mid x \in \mb Q\}$ è generatore dei boreliani $\mc B (\mb R) = \tau ( \mc I)$. Allora:
$$X \text{ è  misurabile } \Leftrightarrow \forall x \in \mb Q\;\;\; \{X \leq x \} \in \mc A$$
\end{smp}
\subsection{Variabili aleatorie discrete}

Chiameremo \emph{discrete} le variabili aleatorie a valori in uno spazio misurabile discreto $(E, \mc P (E))$.\\
Ovviamente se $(E, \mc P (E))$ è uno spazio misurabile discreto, $X: \Omega \rightarrow E$ sarà una variabile aleatoria se e solo se $\forall x \in E$
\[ \{X = x\} \in \mc A\]

Posto
$$E_0 = \left \{ x \mid \{X = x \} \not = \emptyset \right \}$$
chiameremo $\left\{\{X=x\}\right\}_{x \in E_0}$  \emph{partizione di $\Omega$ indotta da $X$}. Ovviamente
\[\Omega = \bigcup_{x \in E_0} \{X=x\}\]

\begin{smp}La \emph{funzione indicatrice di A}, ovvero $I_A : \Omega \rightarrow E = \{0,1\}$ definita come:
$$I_A(\omega) = \begin{cases}
                 1 & \text{ se } \omega \in A\\
                 0 & \text{ se } \omega \not \in A
                \end{cases}
$$
è una variabile aleatoria se e solo se $A$ è un evento (e quindi anche $A^C$).
\end{smp}

\subsection{Legge di una variabile aleatoria}

Dato uno spazio probabilizzato $(\Omega, \mc A, P)$ e una variabile aleatoria $X$ a valori in $(E, \mc E)$, la misura immagine $\mu=X(P)$ si chiama \emph{legge} (o \emph{distribuzione}) di $X$ (secondo $P$).\\

%***immagine?***

Chiameremo $\mu(A)$  ($=P\{X \in A\}$) \emph{probabilità che $X$ cada in $A$}.\\


Con questo nuovo linguaggio, la transitività (vedi osservazione \ref{transit}), ovvero il fatto che nel grafo sottostante si abbia $Y=f \circ X$, si può leggere come ``\emph{la legge di $Y$ è $(f \circ X)(P) = f(X(P))=f(\mu)$}.
\[
 \xymatrix{
 f([v]) \ar[r]^f & f([w]) \\
 [\phi(w)] \ar[ur]^Y \ar[u]^X&
}
\]

\begin{smp}
 una variabile aleatoria particolarmente semplice è quella associata ad una moneta di cui si effettua $n$ lanci ma di cui si vuole studiare solo il $j$-esimo.\\

$\Omega= \{0,1\}^n, \mc A = \mc P(\Omega), P(w)=2^n \;\;\;\forall \omega \in \Omega$ (probabilità uniforme). \\

$X_j : \Omega \rightarrow \{0,1\}$ sarà definita come $ X_j((x_1 \dots x_n))=x_j$

\end{smp}

\subsection{Condizionamento elementare}

Siano $(\Omega, \mc A, P)$ uno spazio probabilizzato e $H\in \mc A$ tale che $P(H) >0$.\footnote{La lettera $H$ è utilizzata, qui e - spesso - in letteratura, in quanto iniziale della parola \emph{hypotesys}.}\\

Possiamo definire su ogni elemento di $\mc A$ una funzione $\mu(A) = P(A \cap H)$, ovvero che ad ogni evento associa la probabilità della \emph{traccia} di $A$ su $H$. Si verifica facilmente che questa funzione è una misura. Siccome essa ha massa totale $P(H) \not = 0$, ne deriva che
\[P_H \dfn \frac{1}{P(H)}\cdot \mu\]
 è una probabilità: la chiameremo \emph{misura di probabilità dedotta da $P$ sotto la condizione $H$}.\\
Scriveremo talvolta $P(A \mid H)$ per indicare $P_H(A)$.\\
$P_H$ è \emph{concentrata} su $H$, ovvero $P(H)=1$.\\

L'interpretazione del concetto di ``condizione'' risulta piuttosto intuitiva in seguito alla terminologia che abbiamo presentato: vogliamo studiare un evento che sappiamo essere contenuto in $H$ riservandoci di \emph{fare intervenire informazioni supplementari} e quindi evitando di cambiare semplicemente spazio. Ci saranno infatti casi in cui lavorare in uno spazio più ampio dello stretto indispensabile porterà una certa comodità.

\section{Indipendenza stocastica}
Introduciamo il concetto di \emph{indipendenza stocastica}, per ora in un caso particolare.\\

Prendiamo uno spazio $(\Omega, \mc A, P)$ e siano $X,Y$ due variabili aleatorie su $\Omega$ a valori rispettivamente in $(E, \mc E)$ e $(F, \mc F)$. Allora:

$$X \text{ è indipendente da }Y \stackrel{def}{\Leftrightarrow} \forall H \in \tau(X) \text{ tale che } P(H)\not = 0 \text{ si ha }Y(P_H)=Y(P)$$.

\subsection{I criterio di indipendenza}
Nelle ipotesi date sopra, siano $\mu, \nu$ due probabilità rispettivamente su $(E, \mc E)$ e $(F, \mc F)$. Allora si equivalgono i seguenti due risultati:

\begin{enumerate}
 \item[(a)] $X(P) = \mu, Y(P) = \nu$, $X$ e $Y$ sono indipendenti
 \item[(b)] $\forall A \in \mc E, B \in \mc F $ si ha $P\{X\in A, Y \in B\} = \mu(A) \cdot \nu(B)$
\end{enumerate}

\begin{proof}
 
$$P\{X \in A \} = P\{X \in A, Y \in F\}=\mu(A)\nu(F) = \mu(A)$$
A questo punto:
\[\text{(b)}\]
\[\Updownarrow\]
\[\forall A \in \mc E : \mu(A) \not = 0, \forall B \in \mc F \;\;\;\left (\frac{P\{X \in A, Y \in B\}}{\mu(A)}=\nu(B) \right)\]
\[\Updownarrow\]
\[\forall A \in \mc E, B \in \mc F \;\;\;P_{X \in A} \{Y \in B\} = P \{Y \in B\}\]
\[\Updownarrow\]
\[\text{(a)}\]
\end{proof}

\begin{oss}
 La condizione \emph{(b)} ci rivela la simmetricità del concetto di indipendenza:\\
$X$ indipendente da $Y \Leftrightarrow Y$ indipendente da $X \stackrel{def}{\Leftrightarrow} X$ e $Y$ \emph{sono indipendenti}.
\end{oss}

\subsection{Criterio delle due basi}
Nelle stesse ipotesi, siano $\mc I$ una base per $\mc E$ e $\mc J$ una base per $\mc F$. Allora $X$ e $Y$ sono indipendenti se e solo se, $\forall A \in \mc I, B \in \mc J$:
$$ P\{X \in A, Y \in B\} = \mu(A)\nu(B)$$

\begin{proof} fissiamo $A \in \mc I$;
\[B \mapsto P\{X \in A, Y \in B\}\]
e
\[B \mapsto \mu(A)\nu(B)\] sono misure finite su $\mc F$ che, per ipotesi, coincidono $\forall B \in \mc J \Rightarrow$ coincidono $\forall B \in \mc F$.\\
Similmente, coincidono $\forall A \in \mc I \Rightarrow$ coincidono $\forall A \in \mc E$.
\end{proof}
\subsubsection{Corollario (criterio della base)}
Siano definite su uno stesso spazio $(\Omega, \mc A, P)$ due variabili aleatorie $X,Y$ a valori rispettivamente in $(E, \mc E)$, $(F, \mc F)$. Sia inoltre $\mc I$ una base per $\mc E$ e $\nu$ una misura di probabilità su $(F, \mc F)$.\\
Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item[(a)] $Y(P)=\nu$ e $Y$ è indipendente da $X$
 \item[(b)] $\forall H \in \tau(X) \;\;\; P(H) \not = 0 \Rightarrow Y(P_H)=\nu$
\end{enumerate}

L'implicazione (a)$\Rightarrow$(b) è ovvia, mentre (b)$\Rightarrow$(a) è banalmente vera per gli eventi $A \in \mc E$ tali che $\mu(A)=0$.\\
Supponiamo allora $\mu(A) \not = 0$:
$$\frac{P\{X\in A, Y\in B\}}{P\{X \in A\}}=\nu(B) \Leftrightarrow P_H\{Y \in B\}=\nu(B)$$

Per il criterio delle due basi ($\mc I$ ed $\mc F$), la dimostrazione è conclusa.

\begin{smp}
 Applichiamo il criterio delle due basi:\\
due eventi $H$, $K$ in $\spp$ si dicono \emph{indipendenti} se tali sono le loro funzioni indicatrici $I_H$ e $I_K$.\\
$I_H$ e $I_K$ assumono valori in $(\{0,1\}, \mc P(\{0,1\}))$. Possiamo considerare la base $\mc I=\{\{1\}, \{0,1\}\}$.\\
Per il criterio delle due basi,
$$\begin{matrix}
I_H, I_k \text{ sono indipendenti }\\
 \Updownarrow\\
\forall A,B \in \mc J\;\;\; P\{I_H \in A, I_k \in B\}=P\{I_H \in A\}\cdot P\{I_k \in B\}   
  \end{matrix}
$$

Se $A$ o $B$ è $\{0,1\}$, l'affermazione è banalmente vera. Altrimenti:
$$P(H \cap K)=P(H)\cdot P(K)$$
$$(=P\{I_H=1, I_k=1\}=P\{I_H=1\}P\{I_k=1\})$$
\end{smp}

\subsection{Indipendenza di sottotribù}
Due sottotribù $\mc H, \mc K$ si dicono indipendenti quando $\forall H \in \mc H, K \in \mc K$, $H$ e $K$ sono indipendenti.\\
Date due variabili aleatorie $X,Y$ indipendenti, sappiamo che
\[\forall A \in \mc E,  B \in \mc F\;\;\;  P\{X \in A , Y \in B\}=P\{X \in A\}P\{Y \in B\} \text{ ,}\]
ovvero $\forall H \in \tau(X), K \in \tau(Y)$ abbiamo $P(H \cap K)=P(H)P(K)$, ovvero $H$ e $K$ sono indipendenti.\\
Quindi le tribù generate da $X$ e $Y$ sono indipendenti.\\

\subsection{Indipendenza di una famiglia di variabili aleatorie}
\subsubsection{Blocchi}
Sia $((E_i, \mc E_i, \mu_i))_{i\in I}$ una successione di spazi misurati: possiamo considerarla come un unico spazio misurato sull'insieme
\[\prod_{i \in I} E_i = \{(x_i)_{i \in I}\}\]
Definiamo allora $\bigotimes_{i \in I}\mc E_i$ come la tribù generata dai rettangoli con \emph{``lati'' misurabili e quasi tutti banali}, ovvero le $(A_i)_{i \in I}$ tali che:
$$|\{i \in I \mid A_i \not = E_I\}| < \infty$$

\begin{oss}$\bigotimes_{i \in I}\mc E_i$ contiene $\prod_{i \in I} E_i$ ed è chiusa per intersezione, quindi è effettivamente base di una tribù.
\end{oss}

Si dimostra anche che $\exists ! \mu$ tale che $\mu=\bigotimes_{i \in I} \mu_i$, ovvero tale che, $\forall (A_i)_{i \in I}$,
\[\mu \left(\prod_{i \in I}A_i \right) = \prod_{i \in I} \mu_i(A_i)\]

La dimostrazione di questo fatto non sarà affrontata in questo corso; osserviamo però che se una tale misura $\mu$ esiste, è evidentemente unica, in quanto l'abbiamo definita univocamente su una base.\\

Data una famiglia $((E_i, \mc E_i))_{i \in I}$ di spazi misurabili, $(\Omega, \mc A)$ uno spazio probabilizzabile e $(X_i)_{i \in I}$ una famiglia di variabili aleatorie $X_i: \Omega \rightarrow E_i$, chiamiamo \emph{blocco delle $X_i$} e denotiamo con $[X_i]_{i \in I}$ la funzione $X : \Omega \rightarrow \prod E_i$ definita come segue:

\[X(\omega) \stackrel{def}{=} \left (X_i(\omega)\right )_{i\in I}\]\\

Sia $X = [X]_{i \in I}$; i seguenti fatti sono allora equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item 
\[X_i : (\Omega, \mc A) \rightarrow (E_i, \mc E_i)\] è misurabile $\forall i \in I$
 \item \[X : (\Omega, \mc A) \rightarrow \left(\prod_{i \in I} E_i, \bigotimes_{i \in I} \mc E_i\right)\] è misurabile
\end{enumerate}

\begin{proof}
 (a) $\Rightarrow$ (b):\\
utilizziamo il criterio fondamentale di misurabilità, riducendoci quindi ad un insieme di generatori opportuno: sia $\mc R$ l'insieme dei rettangoli con lati misurabili e quasi tutti banali:
\[ R \in \mc R \Leftrightarrow R = \prod_{i \in I} A_i \text{ con } J=\{i \in I \mid A_i \not = E_i\} \text{ finito} \]

Allora
\[\{X \in R\} = \bigcap_{i \in I} \{X_i \in A_i\} = \bigcap_{i \in J}\{X_i \in A_i \}\]
è un'intersezione finita di elementi di a $\mc A$ e quindi appartiene ad $\mc A$.

(b) $\Rightarrow$ (a):\\
sia $j \in I$: vogliamo mostrare che $X_j$ è misurabile, ovvero che preso un qualsiasi $B \in \mc E_j$ abbiamo $\{X_j \in B\} \in \mc A$. Ma
\[\{X_j \in B \} = \{X \in R\} \text{ con } R = \prod_{i \in I} A_i \text{, dove } A_i=\begin{cases}
                                                                                  E_i & \text{se } i \not = j \cr
									       	  B   & \text{se } i = j
                                                                                      \end{cases}\]

Per la misurabilità di $X$, sappiamo che $\{X \in R \} \in \mc A \Rightarrow \{X_j \in B \} \in \mc A$.
\end{proof}

\begin{oss}
 Osserviamo infine che $\tau(X) = \tau(\{X_i \mid i \in I\})$, ovvero
\[\tau(X)=\tau \left (\bigcup_{i \in I}\tau(X_i)\right)\]
\end{oss}

Dato un blocco ed un sottoinsieme del suo insieme degli indici $H \subset I$ con $H \not = \emptyset$, possiamo sempre considerare il nuovo blocco
\[[X_i]_{i \in H} : \Omega \ra \prod_{i \in H} E_i\]
definito evidentemente come
\[[X_i]_{i \in H}(\omega) \stackrel{def}{=} (X_i(\omega))_{i \in H}\]

Per semplicità di notazione scriveremo $X_H$ al posto di $[X_i]_{i \in H}$.

\subsubsection{Definizione di indipendenza in una famiglia di variabili aleatorie}

$(X_i)_{i \in I}$ è una \emph{famiglia di variabili aleatorie indipendenti} se, data una qualsiasi coppia $(H,K)$ con $H,K \in \mc P(I)$, entrambe non vuote e tali che $H \cap K = \emptyset$, i due blocchi $X_H$ e $X_K$ siano indipendenti, ovvero siano indipendenti le loro tribù generate $\tau(X_H)$ e $\tau(X_K)$.\\
In altri termini, dato comunque $A \in \tau(X_H)$ abbiamo $X_K(P_A)=X_K(P)$.\\

\begin{oss}
 a rigore, il concetto di ``indipendenza'' si riferisce \emph{sempre} a \emph{famiglie} di variabili aleatorie; l'abbiamo presentato, per maggiore semplicità, prima nel caso in cui la famiglia ha solo due elementi.\\
È evidente che, in una famiglia di variabili aleatorie indipendenti, le variabili aleatorie sono a due a due indipendenti: basta prendere $H=\{i\}$ e $K=\{j\}$ con $i\not = j$ e la definizione ci dice che $X_i=X_H$ e $X_j=X_k$ sono indipendenti.
\end{oss}

\subsection{Criterio fondamentale di indipendenza}
Nelle ipotesi della definizione appena data, supponiamo assegnate delle misure di probabilità $(\mu_i)_{i \in I}$ con $\mu_i$ definita su $(E_i, \mc E_i)$. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item[(a)] $\forall i \in I\;\;\, X_i(P)=\mu_i$ e le $X_i$ sono indipendenti
 \item[(b)] $\forall i \in I\;\;\; X_i(P)=\mu_i$; inoltre $\forall J \subset I$ con $2 < |J| < \infty$ esiste una partizione $\{H, K\}$ di $J$ tale che $X_H$ e $X_K$ siano indipendenti
 \item[(c)] $X(P)=\bigotimes_{i \in I}\mu_i$
\end{enumerate}

Talvolta chiameremo $X(P)$ \emph{legge congiunta delle $X_i$} e $X_i(P)$ \emph{legge marginale di indice $i$ del blocco $X$}.\\

\paragraph{Problema:} se abbiamo una famiglia di spazi misurati $((E_i, \mc E_i, \mu_i))_{i \in I}$, come possiamo costruire uno spazio probabilizzato $(\Omega, \mc A, P)$ ed una famiglia $(X_i)_{i \in I}$ di variabili aleatorie indipendenti $X_i : \Omega \rightarrow E_i$ in modo tale che, dato un $i$ qualsiasi, $X_i(P)=\mu_i$?\\

Questo problema ha una \emph{soluzione canonica}:
\[\Omega \stackrel{def}{=}\prod_{i \in I}E_i,\; \mc A = \bigotimes_{i \in I}\mc E_i\]

A questo punto, $X_j : \Omega \rightarrow E_j$ non sarà altro che la proiezione canonica di indice $j$ e, siccome vogliamo $P$ tale che $X_i(P)= \mu_i$, 
\[P=\bigotimes_{i \in I} \mu_i\]

Chiameremo $((\Omega, \mc A, P), (X_i)_{i \in I})$ lo \emph{schema delle prove indipendenti} associato alla famiglia $(\mu_i)_{i \in I}$.

\begin{oss}
 l'interpretazione di questa definizione è ovvia: un esperimento composto di esperimenti semplici.\\
$A \subset E_j$ e $\{X_j \in A\} \subset \Omega$ sono oggetti matematici diversi ma rappresentano intuitivamente la stessa cosa.
\end{oss}

\begin{smp}
 Rappresentiamo un esperimento consistente nel lanciare infinite volte una moneta:
\[E_i=\{0,1\}, \mc E_i=\mc P(E_i)\]
\[\mu_i = \text{ ripartizione uniforme su } \{0,1\} , \text{ ovvero: } \mu_i(0)=\mu_i(1)=\frac{1}{2}\]

\[\Omega = \prod_{i \in I} E_i = \{0,1\}^{\mb N^*}=\left \{(x_i)_{i \geq 1} : x_i \in \{0,1\} \forall i \right\}\]

$X_i$ sarà la proiezione canonica di indice $j$.

\[A = \tau \left( \{\{x_j=1\} \mid j \in \mb N^* \}\right)\]

La probabilità che i primi $n$ lanci della moneta seguano una configurazione data $(x_1, x_2 \dots x_n)$ di 0 e 1 è data dall'evento:
\[ \{ X_1=x_1, X_2=x_2 \dots X_n=x_n\}= \{x_1\} \times \{x_2\} \times \dots \{x_n\} \times E \times E \dots \]
avente probabilità: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \dots \frac{1}{2} \times 1  \times 1 \dots = 2^{-n}$.
\end{smp}

\subsubsection{Conseguenze del criterio fondamentale}

\begin{enumerate}
 \item \emph{principo della sottofamiglia finita}: $(X_i)_{i \in I}$ è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti se e solo se lo è ogni sua sottofamiglia finita
 \item \emph{principio dell'indipendenza individuale}: $(X_i)_{i \in I}$ è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti se e solo se $(\forall j \in I)$ la variabile $X_j$ è indipendente dal blocco $[X_i]_{i \in I \setminus \{j\}}$
 \item \emph{principio dell'indipendenza di una successione}: $(X_n)_{n \in I}$ con $I \subset \mb N^*$ è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti se e solo se $\forall n, X_n$ è indipendente da $[X_k]_{k \in I, k \leq n}$
 \item \emph{principio della composizione}: se $(X_i)_{i \in I}$ è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti e $\forall i$ si ha una funzione $f_i : (E_i, \mc E_i) \rightarrow (F_i, \mc F_i)$ misurabile, allora la famiglia $(f_i \circ X_i)_{i \in I}$ è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti
\end{enumerate}

Il fatto che l'indipendenza implichi i punti 1., 2. e 3. deriva banalmente della definizione. Le implicazioni inverse si dimostrano con il punto (b) del \emph{criterio fondamentale}; in particolare, per 3. osserviamo che, posto $k=\max_n \in H$, possiamo separare $X_H$ in $X_{\{n\}}=X_n$ e $X_{H \setminus \{n\}}$.\\
Il punto 4. si dimostra invece osservando che, dati $H, K \subset I$ con $H \cap K = \emptyset$, si ha che $\tau\left([X_i]_{i \in H}\right)$ e $\tau \left ([X_i]_{i \in K} \right)$ sono più fini (rispettivamente) di $\tau ([f_i \circ X_i]_{i \in H})$ e $\tau([f_i \circ X_i]_{i \in K})$, per cui se le prime sono indipendenti, lo sono anche le ultime.

\subsubsection{Eventi trascurabili}
Dato un spazio misurato $(E, \mc E, \mu)$ ed un elemento $A$ di $\mc E$, diciamo che $A$ è \emph{trascurabile} se $\mu(A)=0$.\\
È evidente che tale definizione è complementare a quella di quasi certezza data precedentemente.\\

Date due funzioni $f,g : E \rightarrow F$, diciamo che $f$ \emph{coincide quasi dappertutto} con $g$ o che $f$ \emph{è equivalente modulo $\mu$} con $g$, e scriviamo $f \sim g (\mod \mu)$, se esiste $A$ trascurabile tale che $(\forall x \in A^C) f(x)=g(x)$.\\
\begin{oss}
 Sembrerebbe più immediata la definizione ``$f$ e $g$ coincidono quasi dappertutto se $\mu(\{f \not = g\}) = 0$'';  tale definizione sarebbe però sbagliata perché, non avendo fatto nessuna richiesta particolare su $f$ e $g$, $\{f \not = g\}$ può benissimo essere non misurabile.
\end{oss}

La relazione tra funzioni appena data è transitiva:\\
$f \sim g \Rightarrow \exists A$ trascurabile con $f(x)=g(x) \forall x \in A^C$\\
$g \sim h \Rightarrow \exists B$ trascurabile con $g(x)=h(x) \forall x \in B^C$\\
allora
\[f(x)=h(x) \;\;\,\forall x \in (A^C \cap B^C) = (A \cup B)^C\]
Ma
\[\mu(A \cup B) \leq \mu(A) + \mu(B) =0 \Rightarrow \mu(A \cup B) = 0 \Rightarrow f \sim h\]


Date $X,Y$ su $(\Omega, \mc A, P)$, diciamo che $X$ \emph{coincide quasi certamente} $Y$ se $X$ e $Y$ coincidono su un evento $H$ quasi certo.

\section{Isonomia}
La parola \emph{isonomia} deriva dal greco $\iota \sigma o \sigma$ (\emph{uguale}) e $\nu o \mu o \varsigma$ (\emph{legge}); due variabili aleatorie $X,Y$ a valori in uno stesso spazio $(E, \mc E)$ si dicono isonome se hanno la stessa legge (taluni preferiscono il sinonimo di origine anglofona \emph{identicamente distribuite}).\\


Se $X,Y$ sono definite su uno stesso spazio, assumono valori in uno stesso spazio $(E, \mc E)$ e sono coincidenti su un evento $H \in \mc E$ quasi certo, allora sono isonome.\\
Infatti, dato $A \in \mc E$,
\[\{X \in A\}= \left ( \{X \in A\} \cap H \right) \cup \left ( \{X \in A \} \cap H^C \right )\]

Ma $H^C$ è trascurabile $\Rightarrow \{X \in A\} \cap H^C$ è trascurabile, e lo stesso procedimento vale per $Y$. Quindi $P \{ X \in A \} = P \{ Y \in A \}$.\\

Sembrerebbe vero anche il viceversa, ma non è così: sia $A$ un evento di probabilità $\frac{1}{2}$ e $I_A : \Omega \rightarrow \{0,1\}$ la sua funzione indicatrice: allora \[P\{I_A = 1 \} = \frac{1}{2}\]
$I_A$ ha legge uniforme su $\{0,1\}$ e $I_{A^C}$ pure, ciononostante non coincidono (in alcun punto).\\
In altre parole, l'isonomia riguarda la probabilità sui \emph{valori}, non sugli \emph{eventi primitivi}.\\


Dato un qualsiasi insieme $H \in \mc A$ con $P(H) > 0$, è evidente che se due variabili aleatorie $X,Y$ coincidono su $H$, allora $X \sim Y (\mod P_H)$.

\subsection{Misure degeneri}
Una misura di probabilità si dice \emph{degenere} se assume solo i valori 0 e 1.

\begin{smp}
Un esempio di misura degenere è dato dalle funzioni di \emph{Dirac}: la funzione di Dirac relativa ad un eventualità $x$ è definita come:
\[D_x(A)=\begin{cases}
          1 & \text{ se } x \in A \\
          0 & \text{ se } x \not \in A
         \end{cases}
\]\\

In altri termini, $D_x(A)=I_A(x)$.\\
\end{smp}

Una variabile aleatoria si dice degenere se tale è la sua legge.

Un evento si dice degenere se ha probabilità 0 o 1.

\begin{prp}
 sia $X$ una variabile aleatoria su $(\Omega, \mc A, P)$ a valori in $(E, \mc E)$. Allora sono equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item[(a)] $X$ è degenere
 \item[(b)] $X$ è indipendente da ogni variabile aleatoria definita su $(\Omega, \mc A, P)$
 \item[(c)] $X$ è indipendente da sé stessa
\end{enumerate}
\end{prp}

\begin{proof}
\emph{(a) $\Rightarrow$ (b)} è semplice: per \emph{(a)}, $X$ definirà soltanto eventi $A$ quasi certi o trascurabili, ovvero tali che, dato un $H$ qualsiasi,
\[P(A)=P_H(A \cap H) \in \{0,1\}\]
Quindi $X(P_H)=X(P)$, e questo per ogni elemento $H$ della tribù generata da una qualsiasi variabile aleatoria $Y$. Quindi $X$ e $Y$ sono indipendenti.\\
\emph{(b) $\Rightarrow$ (c)} è banale.\\
\emph{(c) $\Rightarrow$ (a)}: $\tau(X)$ è indipendente da sé stessa, quindi dato $H \in \tau(X)$, $H$ è indipendente da sé stesso, quindi:
\[P(H \cap H) = P(H)^2 = P(H) \Rightarrow P(H) \in \{0,1\}\]
\end{proof}

\subsection{Ancora sul criterio di indipendenza}
Diamo ora un caso particolare del criterio di indipendenza applicato ad una base.\\
Sia $X$ una variabile aleatoria discreta a valori in uno spazio discreto $(E, \mc E)$. Una base di $\mc E$ è data dai singoletti e dall'insieme vuoto. Quindi, siccome $X$ è discreta, data un'altra variabile aleatoria $Y$ si equivalgono:
\begin{enumerate}
 \item $Y(P)=\nu$ e $Y$ è indipendente da $X$
 \item $\forall H \in \tau(X)$ della forma $H=\{X = x\}$ e tale che $P(H)>0$ si ha:
\[ Y(P_H)=\nu\]\\
\end{enumerate}

\begin{oss}
 Si potrebbe pensare che, data una famiglia $(X_i)_{i \in I}$ di variabili aleatorie, esse siano globalmente indipendenti se e solo se sono mutualmente indipendenti. Invece non è così, e segue un controesempio.\\
Siano $X,Y,Z$ a valori in $\{1, -1\}$ e $\mu$ la ripartizione uniforme su tale spazio. Costruiamo $(\Omega, \mc A, P)$ e su di esso $X, Y$ indipendenti avente entrambe $\mu$ come legge. Poniamo quindi $Z=X\cdot Y$.\\
$Z$ è indipendente da $X$; infatti, definito $H=\{X=1\}$, $X$ induce la partizione $\{H, H^C\}$. Su $H$, $Z$ coincide con $Y \Rightarrow Z(P_H)=Y(P_H)=Y(P)$ perché $Y$ è indipendente da $X$ (e quindi da $H$) $\Rightarrow Z(P_H)=\mu$.\\
Su $H^C$, $Z$ coincide con $-Y$. Dunque $Z(P_{H^C})=-Y(P_{H^C})=(-Y)(P)$.\\
Ma $Y(P)$ e $-Y(P)$ sono isonome, per cui $Z(P_H)=\mu=Z(P_{H^C})$.\\

\emph{Però:} $Z$ non è indipendente da $[X,Y]$, perché ne è funzione e non è degenere.\\

L'ideazione di questo schema è dovuta a Vernstein e si può interpretare come il lancio di due monete, rappresentate da $X$ e $Y$, e l'analisi dei possibili risultati.
\end{oss}

\subsection{Variabili aleatorie su spazi discreti}
\begin{oss}
 Una famiglia di spazi misurabili $((E_i, \mc E_i))_{i \in I}$ con $I$ finito ed $(E_i, \mc E_i)$ discreto $\forall i$, munita della tribù prodotto è uno spazio misurabile discreto.\\
La tribù prodotto contiene i singoletti ed è quindi l'intera tribù delle parti.\\
Quindi, date $X_i$ variabili aleatorie discrete a valore in uno spazio $F$, il blocco $[X_i]_{i \in I}$ è pure una variabile aleatoria discreta. Di conseguenza, data $f:E \rightarrow F$ (dove $E=\prod_{i \in I}E_i$), si ha che $f \circ [X_i]_{1 \leq i \leq n} = f(X_1, \dots X_n)$ è ancora una variabile aleatoria discreta a valori in $F=f(E)=\{f(x): x \in E\}$.
\end{oss}

\subsubsection{Leggi di Bernoulli e binomiale}
Chiamiamo \emph{legge di Bernoulli di parametro $p$} (con $0<p<1$) la legge $\mu$ su $\{0,1\}$ con $\mu\{1\}=p$ (scriveremo $\mu \sim \mc B(p)$).\\
Chiamiamo \emph{processo di Bernoulli} di parametro $p$ un blocco della forma $[X_i]_{i \geq 1}$, dove $(X_i)_{i \geq 1}$ è una successione di variabili aleatorie con legge $\mc B(p)$ indipendenti.\\

Dati $p \in (0,1)$ e $n \in \mb N^*$, uno spazio $(\Omega, \mc A, P)$ e una successione $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$ di variabili aleatorie indipendenti con legge $\mc B(p)$, chiamiamo \emph{legge binomiale} di parametri $p, n$ la legge della variabile aleatoria $S=X_1 + X_2 + \dots + X_n$.\\
Osserviamo che $S$ è quindi una variabile aleatoria discreta a valori in $\{1 \dots n\}$.\\

In altre parole, una variabile aleatoria con legge binomiale può essere vista come un \emph{blocco iniziale} di un processo di Bernoulli composto con l'operazione di somma.\\

Calcoliamo ora la densità discreta di $S$ (ovvero della sua legge): definiamo
\[E_k=\left\{x \in (0,1)^n : \sum_{i \leq n} x_i = k\right\}\]
Ogni suo elemento $\{x\}$ è della forma $\{x_1\}\times \{x_2\}\dots \times \{x_n\}$, quindi 
\begin{align*}&P\{X=x\}=\mu\{x_1\}\mu\{x_2\}\dots \mu\{x_n\}=p^kq^{n-k}=p^k(1-p)^{n-k}\\
\Rightarrow &P\{S=k\} = P\{x \in E_k\}=\sum_{x \in E_k} P\{x\}=\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}\end{align*}
 Indicheremo tale legge come $\mc B(n,p)$.

\begin{oss}
 La legge $\mc B(1,p)$ non è altro che la legge $\mc B(p)$.
\end{oss}

Se su uno spazio $(\Omega, \mc A, P)$ abbiamo una successione di variabili aleatorie discrete a valori in $\{0,1\}$, sono equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item $X=[X_n]_{n \geq 1}$ è un blocco di Bernoulli di parametro $p$
 \item $X(P)$ è della forma $\mc B (1,p)^{\otimes \mb N^*}$
\end{enumerate}

Infatti $X: \Omega \rightarrow (\{0,1\}^{\mb N^*}, \mc P\{0,1\}^{\otimes \mb N^*})$, $X(P)\sim\mc B(1,p)^{\otimes \mb N^*}$

\subsubsection{Primo successo}
Sia $X=[X_n]_{n \geq 1}$ un processo di Bernoulli di parametro $p$.\\
A variare di $\omega$ in $\Omega$, sia\footnote{Consideriamo il limite inferiore invece che il minimo perché se $\forall n \in \mb N^*, X_n=0$, il minimo non esiste (mentre il limite inferiore viene convenzionalmente fissato a $+ \infty$).}
\[T(\omega)\dfn \inf \{n \in \mb N^* : X_n(\omega)=1\}\]\\

$T:\Omega \rightarrow \mb N^* \cup \{+ \infty\}$ è l'\emph{istante del primo successo}.

\[\{T=+ \infty\} = \left (\bigcap_{n \in \mb N^*}\{X_n=0\} \right)\in \mc A\]
\[\forall n \in \mb N^* \;\;\; \{T=n\}=\left(\{X_n=1\}\cap \bigcap_{1 \leq j < n}\{X_j=0\}\right) \in \mc A\]

Quindi $T$ è una variabile aleatoria discreta a valori in $\mb N^* \cup \{+ \infty\}$.\\
Da quanto appena scritto, si calcola facilmente la sua legge:
\[P\{T=n\}=pq^{n-1}=p(1-p)^{n-1}\]
\begin{align*}& P\{T>n\}=(1-p)^n\\
 \Rightarrow&P\{T=+ \infty\}\leq (1-p)^n \;\;\;\forall n\\
\Rightarrow& P\{T = + \infty\}=0\end{align*}

\subsection{Legge essenziale}

Dato uno spazio $(\Omega, \mc A, P)$, una variabile aleatoria discreta $X$ a valori in $E$ avrà legge $\mu=X(P)$, misura di probabilità su $\mc P(E)$. Può però succedere che
\[E_0\dfn\{x \in E \mid \mu\{x\} \not = 0\}\]
 sia non banale, ovvero diverso da $E$ stesso.\\
In tal caso, $\mu_0=\mu|_{ \mc P(E_0)}$
si dice \emph{legge essenziale} di $X$.\\

Tornando ad un processo di Bernoulli $X=[X_n]_{n \geq 1}$ di parametro $p$ su $(\Omega, \mc A, P)$, sempre con:
\begin{align*}&T: \Omega \rightarrow \mb N^* \cup \{\infty\}\\
&T(\omega) = \inf \{n \in \mb N^* \mid X_n (\omega) = 1\}\end{align*}
abbiamo che, siccome $P\{T = \infty\}=0$, la legge definita solo su $\mb N^*$ come $P\{T=n\}=pq^{n-1}$ è la legge essenziale di $T$. Tale legge viene detta \emph{geometrica} (ed abbreviata con $\mc G(p)$).\\

Fissato ora $n \geq 0$, consideriamo
\[Y \dfn [X_{n+h}]_{h \in \mb N^*}\]
Ovviamente $n=0\Leftrightarrow Y=X $. Ma anche per $n\not = 0$, $Y$ è ancora un processo di Bernoulli; viene detto \emph{processo del futuro} ed è indipendente dal blocco \emph{passato}
\[[X_i]_{1 \leq i \leq n}\]

Fissato $n \geq 0$, sia
\[H\dfn\{T > n\}=\{X_1=0, X_2=0 \dots X_n=0\}\]
$T-n$ coincide su $H$ con la variabile aleatoria $V=$``\emph{primo successo di $Y$}''.\\
\[T-n \sim V (\mod P_H) \Rightarrow (T-n)(P_H) = V(P_H) \sim \mc G(p)\]
$Y$ è un processo di Bernoulli secondo $P_H$, quindi
\[(T-n)(P_H)=T(P)\]
Questa proprietà dei processi di Bernoulli si chiama \emph{assenza di memoria}.\\

\subsubsection{Caratterizzazione della legge geometrica}

Sia $T$ una variabile aleatoria su $\spp \rightarrow \mb N^* \cup \{+ \infty\}$ tale che:
\begin{enumerate}
 \item[(a)] $T \not \sim \infty (\mod P)$\\
(ovvero $P\{T=+ \infty \}\not =1$)
 \item[(b)] $\forall n \geq 0\;\;\; P\{T >n\} \not =0$
 \item[(c)] assenza di memoria: $\forall n \geq 0$, posto $H_n = \{T>n\}$,
\[(T-n)(P_{H_n})=T(P)\]
\end{enumerate}

Allora $T(P)$ è una legge geometrica.

\begin{proof}
 
sia $q=P\{T > 1\} \RA q >0$.
\begin{align*}\forall n \geq 0 \;\;\; \frac{P\{T > n+1\}}{P\{T>n\}}&=P(\{T>n+1\}\mid \{T>n\})\\
&=P_{H_n}\{T > n+1\}\\
&=P_{H_n}\{T-n>1\}\\
&\stackrel{\text{(c)}}{=}P\{T>1\}=q\end{align*}

Sappiamo che $P\{T>0\}=1$; si dimostra quindi per induzione che
\[P\{T>n\}=q^n\]
e quindi:
\[P\{T=n\}=P\{T>n\}\left(1-\frac{P\{T > n+1\}}{P\{T>n\}}\right)=q^n p\]
Ma siamo sicuri che $q \not = 1$? Sì, perché altrimenti
\[\forall n\;\;\; P\{T>n\}=1  \RA P\{T=+ \infty\}=1\]
e questo contraddice l'ipotesi (a).\\
\end{proof}

\begin{oss}
 è evidente dal nome stesso che la proprietà di assenza di memoria ha una precisa interpretazione nella realtà: ad esempio, il lancio di una moneta ``\emph{non ricorda}'' i lanci di monete eventualmente avvenuti in precedenza.\\
Un'altra interpretazione possibile di tale proprietà è però l'``\emph{assenza di usura}''; ad esempio se un oggetto viene utilizzato tutti i giorni e ogni giorno la probabilità che si rompa non dipende da quanti giorni già è stato utilizzato, tale probabilità sarà modellizzabile come un processo di Bernoulli.
\end{oss}

\subsection{Proprietà associativa dell'indipendenza}
Sia $(X_i)_{i \in I}$ una famiglia di variabili aleatorie $:\spp \ra (E_i, \mc E_i)$.\\
Sia $\mf P$ una partizione di $I$, ovvero
\[\mf P \subset \mc P(I)\]
\[\bigcup_{H \in \mf P} h = I\]
\[H, K \in \mf P, H\not = K \RA H \cap K = \emptyset\]\\
$\forall H \in \mf P$, sia $Y_H = [X_i]_{i \in H}$. Allora si equivalgono:
\begin{enumerate}
 \item[(a)] $(X_i)_{i \in I}$ è una famiglia di variabili aleatorie indipendenti
 \item[(b)] \begin{itemize}
\item[(1)]$\forall H \in \mf P, (X_i)_{i \in H}$ è una famiglia indipendente e
\item[(2)]$(Y_H)_{H \in \mf P}$ è una famiglia indipendente.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\begin{proof}
\begin{oss}
 fissiamo $K \in \mf P$. Com'è fatta la tribù generata da $Y_K$?
\[\tau(Y_K) = \tau(\{X_i \mid i \in K\})\]
Inoltre
\[\tau(\{Y_H \mid H \not = K\}) = \tau (\{X_i \mid i \in I \setminus K\})\]
\end{oss}
Detto ciò, e osservato che (a)$\RA$(b)(1) è ovvio, dimostriamo (a)$\RA$(b)(2): ci aiuta il criterio delle indipendenze individuali, che ci dice che $Y_K$ e $[Y_H]_{H \not = K}$ sono indipendenti se lo sono le rispettive tribù (e le tribù lo sono).\\
(b)$\RA$(a): sempre per il criterio fondamentale: posto $J \subset I$ con $2 \leq |J| < + \infty$, dimostriamo che $J=H \cup K$ con $H \cap K = \emptyset$ e $H,K$ indipendenti.\\
Supponiamo un certo $H \in\mf P$ abbia intersezione non vuota con $J$. Se $J \subset H$, abbiamo che $J$ definisce una famiglia di variabili aleatorie indipendenti perché sottoinsieme della famiglia definita da $H$.\\
Altrimenti, possiamo partizionare $J$ in $J \cap H$ e $J \cap H^C$. Le tribù generate
\[\tau(X_i : i \in J \cap H) \text{ e } \tau(X_i : i \in J \cap H^C)\]
sono sottotribù di tribù indipendenti e quindi a loro volta indipendenti.\\
\end{proof}
Applichiamo subito questo risultato in un caso particolare: sia $X =[X_n]_{n \geq 1}$ un processo di Bernoulli di parametro $p$ su $\spp$; fissiamo inoltre $h\geq 1$.\\
Qual'è la probabilità che prima o poi una certa sequenza $(X_i)_{1 \leq i \leq h}$ si verifichi?
\begin{oss}
 è diventato famoso il seguente enunciato paradossale: se diamo ad una scimmia una macchina da scrivere e le lasciamo un tempo infinito a disposizione, quasi certamente scriverà prima o poi una copia completa della Divina Commedia. Il problema appena posto può essere visto come la modellizzazione di una scimma che batte su una macchina da scrivere... \emph{in binario!}
\end{oss}
Sia $A_n=\{X_{n+1}=X_1, \dots X_{n+h}=X_h\}$. Stiamo cercando
\[P\left(\bigcup_{n \geq 1}A_n \right)\]
Osserviamo che, posto $B_i=\{X_{ih+1}=x_1 \dots X_{ih+h}=x_h \}$, si ha
\[\bigcup_{n \geq 1}B_n \subset \bigcup_{n \geq 1}A_n \RA P\left (\bigcup_{n \geq 1}B_n \right) < P \left (\bigcup_{n \geq 1}A_n \right) \]

Ma $P(\bigcup_{n \geq 1}B_n)=1$. Infatti, per la proprietà associativa appena vista, $(B_i)$ è di Bernoulli, e sappiamo che nei processi di Bernoulli l'evento $\{x < + \infty\}$ è quasi certo.\\
Di conseguenza, $P(\bigcup_{n \geq 1}A_n)=1$.

\begin{oss}Il ``paradosso della scimmia'' è noto anche come - o meglio è il corrispettivo folkloristico de - il ``paradosso di Borel''. Notiamo en passant che è giusto chiamarlo paradosso perché consiste in un teorema che, se interpretato, cozza con l'intuizione, diversamente dalle \emph{antinomie}, che sono semplicemente contraddizioni, non dovute ad un'interpretazione ma riscontrabili anche in un processo formalmente corretto, e dai \emph{sofismi}, che invece consistono in pseudo-ragionamenti che infrangono in modo sottile determinate regole di derivazione.
\end{oss}

Questo risultato, nella sua paradossalità, riporta alla mente un'opinione di Ennio De Giorgi: egli diceva che gli schemi finiti si capiscono solo alla luce di quelli infiniti.

\subsection{Sub-additività numerabile}
Ogni spazio misurato $\spM$ gode di \emph{sub-additività numerabile}: data una famiglia $(A_i)_{i \in I}$ con $I$ numerabile,
\[\mu\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) \leq \sum_{i \in I}\mu(A_i)\]

\begin{proof} sfruttiamo la proprietà di $\sigma$-additività. Sia $I=\mb N^*$; cercheremo $(B_n)_{n \in I}$ tale che $B_n \subset A_n$ e
\[\bigsqcup_{n \in \enne^*} B_n = \bigcup_{n \in \enne^*} A_n\]
Definiamo quindi:
\[B_n = A_n \cap \left(\bigcup_{i < n}A_i\right )^C\]
(osserviamo che $i \not = j \RA B_i \cap B_j = \emptyset$).\\
A questo punto, ricordando che $\forall n \in \enne^*\;\;\; \mu(B_n) \leq \mu(A_n)$,
\[\mu(\bigcup A_n)=\mu(\bigcup B_n) = \sum \mu(B_n) \leq \sum \mu(A_n)\]
\end{proof}
\paragraph{Corollario:} la classe degli insiemi trascurabili è stabile per unione numerabile.

\paragraph{Corollario:} se $\mu$ è una probabilità, la classe degli eventi quasi certi è stabile per intersezione numerabile (la dimostrazione è una semplice applicazione delle formule di De Morgan).

\subsection{Rincollamento}
Siano dati $(\Omega, \mc A), (E, \mc E)$ e $(X_i)_{i \in I}$, con $I$ numerabile e $\forall i\;\; X_i$ variabile aleatoria da $(\Omega, \mc A)$ in $(E, \mc E)$. Sia inoltre $(H_i)_{i \in I}$ una partizione di $\Omega$ formata da eventi.\\
Possiamo allora definire $Y: \Omega \ra E$ come $Y(\omega)=X_i(\omega)$, dove $\omega \in H_i$.\\
Dato $A \in \mc E$, avremo
\[\{Y \in A\}=\bigcup_{i \in I}(H_i \cap \{Y \in A\})=\bigcup_{i \in I}(H_i \cap \{X_i \in A\})\]

\subsection{$n$-esimi istanti di successo}
Sia $X= [X_i]_{i \in I}$ un blocco di Bernoulli su $\spp$.\\
$\forall n \geq 1$, sia inoltre $Y_n=[X_{n+h}]_{h \geq 1}$ e sia $V_n$ l'istante del primo successo di $Y_n$.\\
$V_n$ ha, come già visto, legge geometrica (sia secondo $P$ che secondo ogni $P_H$ con $H \in \tau ( X_1 \dots X_n)$).\\
Possiamo considerare la successione di variabili aleatorie $(U_k)_{k \geq 1}$, dove $U_1$ è l'istante del primo successo (di $Y_1$) e $U_k$ il ``tempo'' trascorso tra il $k-1$ e il $k$-esimo successo.\\
$U_{k+1}$, a valori in $\mb N^* \cup \{ + \infty\}$ ma quasi certamente finita sarà (per rincollamento):
\[U_{k+1} \stackrel{def}{=}\begin{cases}
   + \infty & \text{su } \{U_1 +  \dots + U_k = + \infty \} = \bigcup_{i \leq k} \{U_i = + \infty\}\\
   V_n & \text{su } \{U_1 +  \dots + U_k = n \} \text{, dove ovviamente } n \geq k
  \end{cases}
\]

Osserviamo che, dalla prima parte della definizione,
\[\{U_{k+1} = + \infty\} = \{ U_1 + \dots + U_k = + \infty \} \cup \{U_1 + \dots + U_n = n, V_n = + \infty \}\]
Si dimostra per induzione che questo è un evento trascurabile; infatti l'ipotesi induttiva sarà che siano trascurabili tutti gli $U_{i}$ con $i \leq k$, e che quindi tale evento sarà unione finita di eventi trascurabili.\\
Osserviamo inoltre che per la definizione abbiamo sfruttato una partizione di $\Omega$, quindi l'evento $\bigcup_{n \geq k} \{U_1 + \dots + U_k = n\}$ è viceversa quasi certo.

\begin{teo}
 $(U_k)_{k \in \mb N^*}$ è una famiglia indipendente di variabili aleatorie geometriche.
\end{teo}
\begin{proof}
 Sfrutteremo il criterio per l'indipendenza da una variabile aleatoria discreta e il criterio per l'indipendenza di una successione di variabili aleatorie.\\

Siccome $U_1$ ha legge $\mc G(p)$, sarà sufficiente dimostrare che $U_{k+1}$ ha legge $\mc G(p)$ secondo ogni $P_H$ con $H$ elemento di una partizione indotta da $[U_i]_{1 \leq i \leq k}$.\\
Un tale $H$ sarà della forma
\[\{U_1=n_1, \dots, U_k=n_k\}_{n_i \in \mb N^*}\]
Sia $n= n_1 + \dots + n_k$; certamente $H \in \tau (\{X_i \mid 1 \leq i \leq n\})$. Infatti posti $I=\{1 \dots n\}$ e $J=\{n_1, n_1+n_2, \dots , n_1 + n_2 + \dots + n_k\}$, ovviamente $J \subset I$ e:
\[H = \left ( \bigcap_{i \in J} \{X_i = 1\} \cap \bigcap_{i \in I \setminus J} \{X_i = 0\} \right ) \in \tau (X_1, \dots X_n)\]

Quindi:
\[H \subset \{U_1 + \dots + U_k = n\} = \{U_{k+1} = V_n\} \RA U_{k+1} \sim V_n (\mod P_H)\]
\[ \RA U_{k+1}(P_H) = V_n(P_H)\]
In particolare, le due variabili aleatorie avranno la stessa legge $\mc G(p)$ e la famiglia delle $U_k$ sarà indipendente. %***da rivedere***
\end{proof}

Consideriamo ora $T_k$ l'istante del $k$-esimo successo, variabile aleatoria a valori in:
\[\{n \in \mb N \mid n \geq k\} \cup \{+ \infty\}\]

\begin{oss}
 $P\{T_k= + \infty\}=0$\\
Infatti
\begin{align*}
P\{T_k=n\}&=P(\{X_n = 1\} \cap \{X_1 + \dots + X_{n-1} = k-1\})\\
 &= p \cdot \mu\{k-1\} \;\;\;\;\text{ dove } \mu \sim \mc B(n-1, p)\\
&= p \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)}\\
&= \binom{n-1}{k-1} p^{k} q^{n-k}
\end{align*}

La legge essenziale di $T_k$ è detta \emph{legge di Pascal di parametri $(k,p)$}.
\end{oss}

Abbiamo già visto che l'evento ``presenza di almeno un successo'' è quasi certo. Cosa possiamo dire dell'evento ``presenza di infiniti successi''?\\

Sia $S=\sum_{i \geq 1} X_i$. Osserviamo che
\[\{S = + \infty\}^C = \bigcup_{k \in \mb N^*} \{T_k = + \infty\}\]
quindi
\[P\{S= + \infty\} \geq 1-\sum_{k \in \enne^*} P \{T_k = + \infty\}\]
Ma gli eventi della forma $\{T_k = + \infty\}$ sono tutti trascurabili, quindi la loro unione (numerabile) è ancora trascurabile e di conseguenza:
\[P\{S= + \infty\} = 1\]

Ovviamente lo stesso si può dire della presenza di infiniti \emph{insuccessi}: il procedimento è identico, basta studiare $[1-X_i]_{i \geq 1}$.

\begin{smp}
 Supponiamo che due giocatori, $A$ e $B$, lancino una moneta con l'obiettivo di fare testa (che indicheremo con 1). Più precisamente, se $A$ la lancia $n$ volte e ottiene $k$ successi, $B$ la lancia $k$ volte.\\
Siano $U, V$ su $\spp$, rispettivamente i successi e gli insuccessi di $B$. Possiamo immaginare che $B$ lanci la moneta in realtà $n$ volte, in corrispondenza di ogni lancio di $A$, ma che se il lancio di $A$ non ha successo ci ``dimentichiamo'' del lancio di $B$.\\
$U$ non è quindi $\sum_{i=1}^n Y_i$ ma $\sum_{i=1}^n X_i \cdot Y_i$, dove $X_i$ è l'$i$-esimo lancio di $A$ e $Y_i$ è l'$i$-esimo lancio di $B$. Similmente, $V=\sum_{i=1}^n X_i \cdot (1- Y_i)$.\\
Che legge hanno $U$ e $V$? Sono indipendenti?\\
$X_i \cdot Y_i$ è sempre una variabile con legge di Bernoulli di parametro $\frac{1}{4}$, ed è evidente che supponiamo $\{X_1, Y_1\} \dots \{X_n, Y_n\}$ indipendenti.\\
Quindi
\[U(P) \sim \mc B(n, \frac{1}{4}), V(P)\sim \mc B(n, \frac{1}{4})\]
È molto semplice verificare anche che $U$ e $V$ \emph{non} sono indipendenti: ad esempio
\[H=\{U =n\} \subset \{V=0\}\]
(e $H$ è non trascurabile), per cui $V(P_H) \equiv 0 \not \equiv V(P)$.
\end{smp}

\subsection{Legge di Poisson}
Si chiama \emph{legge di Poisson di parametro $\lambda$} la legge su $(\mb N, \mc P(\mb N))$ definita come:
\[\{k\} \mapsto e^{- \lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\]

Siccome $\sum_{k \geq 0} \frac{\lambda^k}{k!}=e^\lambda$, quella data è effettivamente una probabilità.\\

Una variabile aleatoria con legge di Poisson può essere vista come il limite di una successione di binomiali: siano $0<p_n<1$ tali che
\[n \cdot p_n \stackrel{n \ra \pnfty}{\lra}\lambda \text{ con } 0 < \lambda < + \infty\] (in altri termini, richiediamo che $\frac{n \cdot p_n}{\lambda} \sim 1$) e per ogni $n$ sia $\mu_n = \mc B(n, p_n)$. Allora\footnote{assumendo $\mu_n(k)=0$ se $n <k$.} $\forall k \in \mb N$:
\[\mu_n\{k\} \ra \mc P(\lambda)\{k\}\]

\begin{proof}
Fissato $k \in \mb N$, consideriamo gli $n \geq k$.\\
Vogliamo dimostrare che, per $n$ che tende ad infinito,
\[ \binom{n}{k}p_n^k (1-p_n)^{n-k} \ra e^{- \lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\]
Cominciamo con l'osservare che
\[\binom{n}{k}=\frac{n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!} \sim \frac{n^k}{k!} \RA \binom{n}{k}p_n^k \sim \frac{n^k}{k!}p_n^k=\frac{(n p_n)^k}{k!}\sim \frac{\lambda^k}{k!}\]

Resta solo da dimostrare che $e^{- \lambda}\sim (1-p_n)^{n-k}$.\\
Ma 
\[(1-p_n)^{n-k}=e^{\log(1-p_n)^{(n-k)}}=e^{(n-k)\log(1-p_n)}\] e
\[(n-k)\log(1-p_n) \sim n \log(1-p_n) \stackrel{1}{\sim} n p_n\]
\small{($\stackrel{1}{\sim}$ si giustifica osservando che $p_n \ra 0$ e la funzione logaritmo ha derivata 1 in 1)}\\
Quindi:
\[(n-k) \log(1-p_n)\ra \lambda \RA (1-p_n)^{n-k} \ra e^{-\lambda}\]
\end{proof}
\begin{smp}
 Supponiamo di distribuire in modo casuale $n$ palline in $2n$ scatole. Abbiamo una sequenza di variabili aleatorie $(X_i)_{i \leq n}$, ognuna avente per legge la ripartizione uniforme su $\{1 \dots 2n\}$.\\
Quante palline ci aspettiamo di trovare nella scatola 1?
\[V= \sum_{i=1}^n I_{\{X_i = 1\}}\]
Possiamo vedere le funzioni indicatrici $I_{\{X_i=1\}}$ come variabili aleatorie indipendenti, con legge di Bernoulli di parametro $\frac{1}{2n}$. Quindi $V(P)\sim\mc B (n, p_n)$, dove $p_n=\frac{1}{2n}$.\\
Siccome $n\cdot p_n$ converge a $\frac{1}{2}$, la legge di $V$ tende ad una legge di Poisson di parametro $\frac{1}{2}$ per $n$ che tende a infinito.\\
Questo ci suggerisce anche che, operativamente, potremo utilizzare la legge di Poisson per approssimare il comportamento della nostra $V$ se $n$ è sufficentemente grande.
\end{smp}

\subsubsection{Proprietà delle variabili poissoniane}

Siano $X,Y$ variabili aleatorie discrete, a valori in $\mb N$, indipendenti su $\spp$, con leggi rispettivamente $\mc P(\lambda_1), \mc P(\lambda_2)$: allora $X+Y$ ha legge $\mc P(\lambda_1 + \lambda_2)$.
\begin{proof}
 \[\forall n \in \enne \;\;\; \{X+Y=n\}=\bigcup_{h=0}^n \{X=h, Y=n-h\}\]
Quindi
\begin{align*}
P\{X+Y = n\} &= \sum_{h=0}^n P\{X=h\}P\{Y=n-h\}\\
&=\sum_{h=0}^n e^{-\lambda_1}\frac{\lambda_1^h}{h!} e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_2^{n-h}}{(n-h)!}\\
&=\frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!}\sum_{h=0}^n n! \frac{\lambda_1^h}{h!} \frac{\lambda_2^{n-h}}{(n-h)!}\\
&=\frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!}\sum_{h=0}^n \binom{n}{h}\lambda_1^h\lambda_2^{n-h}\\
&=\frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{n!} (\lambda_1 + \lambda_2)^n
\end{align*}
\end{proof}

\subsection{Spazi prodotto}
Consideriamo gli spazi misurabili $(E, \mc E), (F, \mc F)$ e $(E \times F, \mc E \otimes \mc F)$.\\
Siano $\mc I$ una base di $\mc E$ e $\mc J$ una base di $\mc F$. Nasce naturale la domanda:
\[\mc L = \{A \times B \mid A \in \mc I, B \in \mc J\}\]
è una base per $\mc E \otimes \mc F$?\\
Verifichiamo uno alla volta i requisiti che $\mc L$ dovrebbe avere:
\begin{enumerate}
 \item[(a)] $E \times F$ è ottenibile come unione numerabile di elementi di $\mc L$?
 \item[(b)] $\mc L$ è stabile per intersezione?
 \item[(c)] $\tau(\mc L)= \mc E \otimes \mc F$?
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item (a): siccome $\mc I, \mc J$ sono basi,
\[E=\bigcup_{i \in I} A_i : A_i \in \mc I, \text{con }I \text{ numerabile}\]
\[F=\bigcup_{j \in J} A_j : A_j \in \mc J, \text{con }J \text{ numerabile}\]
Quindi $E \times F$ non è altro che:
\[\bigcup_{(i,j) \in I \times J} A_i \times A_j\]
\item (b): $(A \times B) \cap (A' \times B') = (A \cap A') \times (B \cap B')$
\[A \cap A' \in \mc I, B \cap B' \in \mc J \RA (A \cap A') \times (B \cap B') \in \mc F \]
\item (c): ovviamente $\mc L \subset \mc E \times \mc F \RA \tau(\mc L) \subset  \mc E \times \mc F$.\\

Per dimostrare l'altro contenimento, osserviamo che $\mc E \otimes \mc F$ è la minima tribù su $E \times F$ che renda misurabili le proiezioni canoniche $p,q$ definite come:
\[p(x,y)=x, q(x,y)=y\]
Infatti
\[A \in \mc E \RA p^{-1}(A)=A \times F,\]
\[B \in \mc F \RA q^{-1}(B)=E \times B\]
Questi eventi sono ovviamente inclusi in $\mc E \otimes \mc F$, ma soprattutto una tribù contenente tutti questi eventi ne contiene anche le intersezioni $A \times B$ e quindi include $\mc E \otimes \mc F$.\\
Ma si dimostra facilmente che anche $\tau(\mc L)$ rende misurabili le proiezioni canoniche; per farlo, sfruttiamo il criterio fondamentale di indipendenza:
\[A \in \mc E \RA A \in \tau(\mc I ) \RA A = \bigcup_{i \in I'} A_i \text{ con } I' \subset I\]
\[p^{-1}(A)=A \times F, \text{ ma } F=\bigcup_{j \in J} B_j\]
Quindi
\[A \times F = \bigcup_{(i,j) \in I' \times J} A_i \times B_j\]

Lo stesso ragionamento permette di dimostrare che $\tau(\mc L)$ rende misurabile la proiezione $q$.\\
Di conseguenza $\tau(\mc L) \supset \mc E \otimes \mc F \RA \tau(\mc L)= \mc E \otimes \mc F$.
\end{itemize}

\begin{oss}
 Questo ragionamento si estende in modo ovvio per induzione ad una $n$-upla qualunque di spazi misurabili.
\end{oss}

\paragraph{Corollario:} su $\spp$, sia $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$ una $n$-upla di variabili aleatorie con $X_i$ a valori in $(E_i, \mc E_i)$. Per ogni $i$, sia $\mc I_i$ una base per $\mc E_i$. Allora si equivalgono:
\begin{enumerate}
 \item[(a)] $\forall i \;\;\; X_i(p)=\mu_i$ e le $X_i$ sono indipendenti
 \item[(b)] $\forall (A_i)_{i \leq n}\;\;\; n$-upla di eventi con $A_i \in \mc I_i$,
\[P \left(\bigcap_{i=1}^n\{x_i \in A_i\} \right) = \prod_{i=1}^n \mu_i(A_i)\]
\end{enumerate}

\begin{proof}Sia $X= [X_i]_{i \leq n}$.
 Per il criterio fondamentale,
\[\text{(a)}\]
\[\Updownarrow\]
\[X(P) = \bigotimes_{i=1}^n \mu_i \]
\[ \Updownarrow\]
\[  \forall A=(A_1 \times \dots \times A_n) \in \bigotimes_{i=1}^n \mc E_i\;\;\; P\{X \in A\} = \prod_{i=1}^n \mu_i(A_i)\]
\[\Updownarrow\]
\[ \forall A_1 \times \dots A_n \in \mc L \;\;\; P\{X_1 \in A_1 \dots X_n \in A_n\}=\prod_{i=1}^n \mu_i(A_i) \]
\[\Updownarrow\]
\[\text{(b)}\]
\end{proof}

\begin{smp}
 Diamo un caso, piuttosto banale, in cui tale risultato si applica: supponiamo che gli $E_i$ siano discreti e che $\mc E_i = \mc P(E_i)$.\\
Allora al variare di $i \leq n$ possiamo considerare la base
\[\mc I_i\dfn\{\{x\} \mid x \in E_i\} \cup \{\emptyset\}\]
Sia $\mu_i$ una misura di probabilità su $\mc E_i$ e $f_i$ la corrispondente densità discreta ($\forall x \in E_i \;\;\; f_i(x)=\mu_i\{x\} $).\\
Allora
\[\text{\emph{(a)}} \LR  \forall (x_i)_{i \leq n} \in E_1 \times \dots \times E_n \;\;\; P\left( \bigcap_{i=1}^n \{X_i = x_i\}\right)= \prod_{i=1}^n f_i(x_i)\]

In altri termini, $X=[X_i]_{1 \leq i \leq n}$ ha come densità discreta il \emph{prodotto tensoriale} $\bigotimes_{i=1}^n f_i$:
\[f(x_1, \dots x_n)=f_1(x_1) \cdot f_2(x_2) \dots f_n(x_n)\]
\end{smp}
\begin{smp}
Su $\spp$, sia $X$ un processo di Bernoulli di parametro $p$ e $N$ una variabile aleatoria con legge $\mc P(\lambda)$.\\
Sia
\[S_n = \sum_{i=1}^n X_i\]
e definiamo $S_N$ per rincollamento in modo tale che, $\forall n \in \mb N$, essa coincida con $S_n$ su $\{N=n\}$.\\


Vogliamo calcolare la legge del blocco $[S_N, N-S_N]$:
\begin{align*}
P\{S_N=h, N-S_N=k\}=&P\{N=h+k, S_N=h\}\\
=& P\{N=h+k, S_{h+k}=h\}\\
=&P\{N=h+k\}P\{S_{h+h}=h\}\\
=& e^{-\lambda}\frac{\lambda^{h+k}}{(h+k)!}\frac{(h+k)!}{h! k!}p^h q^k\\
\stackrel{p+q=1}{=}&e^{-\lambda p}e^{-\lambda q} \frac{(\lambda p)^h}{h!} \frac{(\lambda q)^k}{k!}
\end{align*}

Quindi $f=f_1 \otimes f_2$, ovvero $f(h,k)=f_1(h)f_2(k)$ dove $f_1, f_2$ hanno legge rispettivamente $\mc P(\lambda p), \mc P(\lambda q)$.
\end{smp}

\begin{oss}
L'esercizio appena svolto fornisce un buon modello per la seguente situazione: supponiamo di gestire un centralino che riceve delle chiamate; il numero di chiamate in un giorno/in un'ora/in un minuto tipicamente si modellizza bene con una variabile poissoniana\footnote{Ovviamente la faccenda si complica se si ha a disposizione anche dei dati sulle chiamate ricevute negli ultimi giorni/nelle ultime ore/negli ultimi minuti}. Supponiamo ora che ci siano due operatori $A$ e $B$ e che il centralino redirezioni le chiamate in modo casuale (con probabilità $p$) verso uno dei due.\\
Allora l'evento $\{X_n=1\}$ significherà ``$n$-esima chiamata dirottata su $A$'' e $S_N$ indicherà il numero totale di chiamate arrivate ad $A$.
\end{oss}

\subsection{Criterio per l'indipendenza da un blocco}
Consideriamo $\spp, X=[X_i]_{i \in I}, Y$ variabile aleatoria a valori in $(F, \mc F)$.\\
Sono risultati equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item[(a)] $Y$ è indipendente da $X$
 \item[(b)] $Y$ è indipendente da ogni blocco della forma $[X_i]_{i \in H}$ con $H\subset I$ finito
\end{enumerate}

\begin{proof}
 È un caso particolare del criterio di indipendenza fondato su una base: $X$ assume valori in
\[\left ( \prod_{i \in I} E_i, \bigotimes_{i \in I} \mc E_i \right )\]
e una base di questo spazio consiste nell'insieme dei rettangoli con lati misurabili e quasi tutti banali.\\
(a) $\RA$ (b): ovvio\\
(b) $\RA$ (a): è sufficiente dimostrare che $\forall H$ della forma $\{X \in A_i\}$,
\[P(H) \not = 0 \RA Y(P_H)=Y(P)\]
Ma sappiamo che $J=\{i \in I \mid A_i \not = E_i\}$ è finito. Quindi
\[H=\bigcap_{i \in I} \{X_i \in A_i\} = \bigcap_{i \in J} \{X_i \in A_i\} \in \tau ([X_i]_{i \in J})\]
\end{proof}

\subsection{Legge 0,1 di Kolmogorov}
\begin{oss}
Introduciamo un piccolo ``ingrediente tecnico'': dato $\spp$, sia $\mc F \subset \mc A$; affinché $\mc F$ sia una tribù indipendente da $\tau(X_i \mid i \in I)$ è sufficiente che $\mc F$ sia indipendente da $\tau(X_i \mid i \in H)$ per ogni $H$ parte finita di $I$.\\
Infatti $\mc F$ è generata dalla variabile aleatoria identità $: \Omega \ra (\Omega, \mc F)$. %*** e allora?!***
\end{oss}
Consideriamo $\spp$, $(X_i)_{i \in I}$ con $X_i$ a valori in $E_i$, $I$ numerabile.\\
$\forall J \subset I$, sia $\mc F_J = \tau(\{X_i \mid i \in J\})$. Sia inoltre $\mc H=\{H \mid H \subset I, H \text{ finito }\}$.\\
Chiamiamo \emph{tribù terminale} (o \emph{remota}) relativa alla famiglia di variabili aleatorie $(X_i)_{i \in I}$ la seguente:
\[\tau \dfn\bigcap_{H \in \mc H} \mc F_{I \setminus H}\]

Diciamo quindi un evento $A$ \emph{terminale} se $A \in \tau$.\\
Diciamo che una variabile aleatoria $Y$ è terminale se è misurabile rispetto a $\tau$, ovvero rispetto ad ogni $ \mc F_{I \setminus H}$.

\begin{smp}
Siano $I = \mb N^*, X_i$ a valori reali; allora
\[A = \left \{\sum_{i \geq 1} |X_i| < + \infty \right\} \in \tau\]
Infatti le somme di finiti termini sono certamente finite, quindi, dato un qualsiasi $H \subset \mb N^*$ finito, $A$ può essere espresso come
\[\left \{\sum_{\genfrac{}{}{0cm}{1}{i \geq 1 }{i \not \in H}} |X_i| < + \infty \right \}\]
quindi $\forall H$ finito in $\mb N^*, A$ appartiene a $\mc F_{\mb N^* \setminus H} \RA A \in \tau$.\\

Similmente, se invece supponiamo che le $X_i$ possano assumere valori reali \emph{o} $\pm \infty$, abbiamo che la variabile aleatoria
\[Y \stackrel{\text{def}}{=} \liminf_{n \ra + \infty} X_n\]
è uguale a \[\liminf_{\genfrac{}{}{0cm}{1}{n \ra + \infty}{n \not \in H}} X_n\]
con $H \in \mb N^*$ qualsiasi, di conseguenza è misurabile rispetto ad ogni $\mc F_{\mb N^* \setminus H}$ ed è quindi terminale.
\end{smp}

\begin{teo}[Legge 0-1 di Kolmogorov]
 Se le variabili aleatorie $(X_i)_{i \in I}$ sono indipendenti, ogni evento terminale è degenere.
\end{teo}

\begin{proof}
Sia $ \mc F_i$ la tribù $\tau(\{X_i \mid i \in I\})$; allora $\tau \subset \mc F_i$. Se dimostriamo che $\tau$ è indipendente da $\mc F_i$, dimostriamo che è indipendente da sé stessa e quindi degenere.\\
Ma per dimostrare ciò, è sufficiente verificare che $\tau$ sia indipendente da ogni tribù $\mc F_H$ con $H \in \mc H$.\\
Siccome poi $\mc F_H$ e $\mc F_{I \setminus H}$ sono sempre indipendenti, lo sono anche $\mc F_h$ e $\tau \subset \mc F_{I \setminus H}$.
\end{proof}

\subsection{Leggi degeneri}

\begin{oss}
 Abbiamo visto già vari esempi del fatto che ogni misura di probabilità si può vedere come legge di una variabile aleatoria.
\end{oss}

Sappiamo che un esempio di leggi degeneri è dato dalle leggi di Dirac:
\[D_x(A)=\begin{cases}
          1 & \text{ se } x \in A \\
          0 & \text{ se } x \not \in A
         \end{cases}
\]\\

Potrebbe venire il sospetto che \emph{ogni} legge degenere sia la legge di Dirac $D_x$ per una qualche eventualità $x$. Verifichiamo che non è vero.

\begin{oss}
Una legge di Dirac non è mai diffusa.\\
Infatti $D_x\{x\}=1 \not =0$.
\end{oss}

Sia $E$ un insieme infinito più che numerabile ed $\mc E = \tau(\{\{x\} \mid x \in E\})$.\\
$\mc E$ contiene ogni sottoinsieme di $E$ che sia numerabile o abbia complementare numerabile. In particolare contiene ovviamente $E$, il cui complementare è $\emptyset$.\\

Possiamo definire su $\spm$ la seguente misura:
\[\mu(A)=\begin{cases}
         0 & \text{ se } A \text{ è numerabile}\\
         1 & \text{ altrimenti (} A^C \text{ è numerabile)}
        \end{cases}\]

Ovviamente i due casi della definizione si escludono perché $E = A \cup A^C$ è più  che numerabile. È altrettanto evidente che $\mu$ è una misura degenere. Tuttavia, essendo diffusa, non può essere di Dirac.

\begin{oss}
Si può anche dimostrare l'esistenza di uno spazio T2, compatto, sulla cui tribù boreliana esiste una legge diffusa. 
\end{oss}


\subsection{Di nuovo sul criterio fondamentale per la coincidenza delle misure}
\begin{teo}
Siano $\mu, \nu$ due leggi su uno spazio $\spm$ coincidenti su un suo insieme di generatori $\mc I$ chiuso per intersezione finita. Allora $\mu$ e $\nu$ coincidono su tutto $\mc E$.
\end{teo}

\begin{proof}
Sia $\mc J=\mc I \cup \{E\}$. Con una banale verifica, si vede che $\mc J$ è ancora un sistema di generatori di $\mc E$ ed è ancora chiuso per intersezione finita. Siccome inoltre $E$ è ottenibile (in modo banale, in quanto elemento) come unione numerabile di elementi di $\mc J$, questo è una base per $E$.\\
Evidentemente $\mu$ e $\nu$ coincidono su $E$, dato che $\mu(E)=\nu(E)=1$. Siccome per ipotesi coincidono su $\mc I$, coincidono su $\mc J$ e quindi su tutto $\mc E$.
\end{proof}

Utilizziamo subito questo risultato nel caso particolare delle legge degeneri.

\begin{teo}
 Siano $\mu, \nu$ due misure degeneri su uno spazio $\spm$. Se $\mu$ e $\nu$ coincidono su un sistema di generatori di $\mc E$, allora $\mu=\nu$.
\end{teo}

\begin{proof}
 Sia $\mc I$ un sistema di generatori per $\mc E$ e sia $A \in \mc I$. Allora ci sono due possibilità:
\begin{enumerate}
 \item $\mu(A)=\nu(A)=1$
 \item $\mu(A)=\nu(A)=0 \Rightarrow \mu(A^C)=\nu(A^C)=1$
\end{enumerate}

Siccome una tribù contiene sempre il complementare di ogni suo elemento, è evidente che un sistema di generatori resta sistema di generatori (per la stessa tribù) se sostituiamo taluni suoi elementi con i rispettivi complementari. In altre parole, possiamo supporre senza perdita di generalità che $\mc I$ contenga soltanto eventi quasi certi.\\

A questo punto consideriamo l'insieme
\[\mc J \stackrel{def}{=} \{A \in \mc E : \mu(A)=\nu(A)=1\}\]
Evidentemente $\mc I \subset \mc J$, quindi se $\mc I$ è generatore di $\mc E$, a maggior ragione lo è $\mc J$. Inoltre, $\mu$ e $\nu$ coincidono su $\mc J$ per definizione, e $\mc J$, la classe degli eventi quasi certi, ha la particolarità di essere chiusa per intersezione finita (abbiamo visto che è addirittura chiusa per intersezione numerabile). Quindi $\mu=\nu$.
\end{proof}

\subsection{Tribù separabili}
Quest'ultimo teorema ci fornisce, in un caso importante, un risultato notevole.

Diciamo una tribù \emph{separabile} se è numerabilmente generata, ovvero se ammette un sistema di generatori numerabile.

\begin{teo}
 Sia $\spm$ uno spazio misurabile con $\mc E$ separabile: allora le sole leggi degeneri su $\mc E$ sono quelle di Dirac.
\end{teo}

\begin{proof}
 Sia $\mc I$ un sistema di generatori numerabile per $\mc E$. Possiamo supporre, come sopra, che $\forall A \in \mc I\;\;\; \mu(A)=1$. Quindi:

\[\mu \left (\bigcap_{A \in \mc I}A \right)=1 \Rightarrow \bigcap_{A \in \mc I } A \not  = \emptyset \Rightarrow \exists x \in \bigcap_{A \in \mc I}A \]
Di conseguenza, $\mu=D_x$.
\end{proof}

\begin{oss}
 Non è per forza vero che $\bigcap_{A \in \mc I}A = \{x\}$ per un qualche $x$. Può benissimo esistere un $y\not = x$ tale che 
\[y \in \bigcap_{A \in \mc I}A \Rightarrow D_y=\mu=D_x\]
Se però $\mc E$ rende misurabili i singoletti, questa possibilità scompare ed ogni misura degenere è la misura di Dirac $D_x$ per un unico $x$.
\end{oss}

\begin{cor}
 La tribù, considerata precedentemente, degli insiemi numerabili o conumerabili su uno spazio più che numerabile non è separabile.
\end{cor}

\begin{smp}
 Sia $\spm = (\mb R, \mc B(\mb R))$: sappiamo che i boreliani sono numerabilmente generati, quindi le uniche misure degeneri sono quelle di Dirac.\\
Se invece consideriamo $E = \mb R$ e $\mc E'=\{A \mid A \text{ o } A^C \text{ numerabile}\}$, otteniamo uno spazio non separabile.\footnote{E questo nonostante $\mc E' \subset \mc E$!}.
\end{smp}

\subsubsection{Variabili aleatorie degeneri}
Chiamiamo \emph{degeneri} ovviamente quelle variabili aleatorie la cui legge è degenere.

È evidente che se una variabile aleatoria $X$ è equivalente (modulo $P$) ad una costante, è degenere. Come potremmo ormai aspettarci, l'implicazione inversa è vera a condizione di porre due ipotesi aggiuntive sulla sua immagine $\mc E$:
\begin{enumerate}
 \item $\mc E$ separabile
 \item $\{\{x\} \mid x \in E\} \subset \mc E$
\end{enumerate}

\begin{oss}
 $X \sim x (\mod P) \Rightarrow X(P)=D_x$
\end{oss}

\begin{proof}
 Sia $\mu=X(P)$.\\
$\mu$ è degenere $\Rightarrow$ è di Dirac $\Rightarrow \exists x \in E : \; \mu = D_x$.\\
Ma $\{x\} \in \mc E \RA \mu\{x\}=D_x\{x\}=1$\\
Quindi $P\{X=x\}=\mu\{x\}=1 \RA X\sim x$.
\end{proof}
%***31/10/06, fine pagina che finisce in verde: trovare controesempi

\section{Teoria dell'integrazione}
\subsection{Tribù traccia}
Ricordiamo la definizione di \emph{traccia} di una tribù su un insieme: %***disegno
dato uno spazio metrico $\spm$ ed un insieme $E_0 \subset E$, la famiglia
\[\{A \cap E_0 \mid A \in \mc E\}\] è una tribù e si chiama traccia di $\mc E$ su $E_0$.\\

Si verifica facilmente che se $\mc E=\tau(\mc I)$ e $\mc I_0 = \{A \cap E_0 \mid A \in \mc I\}$, allora $\tau(\mc I_0)=\mc E_0$.\\
La tribù traccia si ottiene dalla tribù iniziale sostituendo ogni elemento con la sua controimmagine secondo l'iniezione canonica $j : E_0 \ra E$.\\ $j^{-1}(A)=A \cap E_0$, quindi la traccia su un evento $E_0 \in \mc E$ è una sottotribù di $\mc E$.

\begin{oss}
 Dato un qualsiasi spazio topologico $E$ di cui $\mc G$ sia la famiglia di aperti, abbiamo definito $\mc B(E)=\tau(\mc G)$. Si verifica che, dato $E_0 \subset E$:
\[ \mc G_0 = \{A \cap E_0 \mid A \in \mc G\} \RA \tau(\mc G_0) = \mc B(E_0)\]
\end{oss}

Sia $\spp$ uno spazio probabilizzato e $X$ una variabile aleatoria a valori in $\spm$.\\
Se $X(\Omega) \subsetneq E$, posso scegliere $E_0$ tale che $X(\Omega) \subset E_0 \subset E$ e considerare $X$ a valori in $(E_0, \mc E_0)$.\\%***disegno

In questo senso, ogni variabile aleatoria numerica\footnote{Con ``funzione numerica'' si intende una funzione che assume valori in $\mb R \cup \pm \infty$.} $X : \Omega \ra (\overline{\mb R}, \mc B(\overline{\mb R}))$ lascia una traccia su $(\mb R, \mc B(\mb R))$ su cui solitamente si concentra lo studio.\\

\subsection{Di nuovo sui boreliani}
Se uno spazio topologico $E$ ammette una base numerabile $\mc U$, allora
\[\tau(\mc U)=\mc B(E)\]

\begin{proof}
 Ovvia: ogni aperto è unione numerabile di elementi di $\mc U$ ed è quindi contenuto in $\tau (\mc U)$.
\end{proof}

\begin{oss}
 Dati $E,F$ con basi numerabili rispettivamente $\mc U$ e $\mc V$,
\[\mc B(E \times F)=\mc B(E) \otimes \mc B(F)\]
Infatti
\[\mc L \stackrel{def}{=}\{A\times B \mid A \in \mc U, B \in \mc V\}\]
è una base sia per $\mc B(E \times F)$ che per $\mc B(E) \otimes \mc B(F)$.
\end{oss}

\subsubsection{Funzioni boreliane}
Dati due spazi topologici $E, F$, diciamo che una funzione $f: E \ra F$ è \emph{boreliana} se è misurabile come funzione da $(E, \mc B(E))$ in $(F, \mc B(F))$.\\

\begin{oss}
 Una funzione continua è certamente boreliana, dato che gli aperti sono una base per i boreliani.
\end{oss}

\begin{oss}
 \[\mc B(\mb R^2) = \mc B(\mb R) \otimes \mc B(\mb R)\]
Infatti $\mb R$ (con la topologia euclidea) ha una base numerabile, quindi 
\[\mc B(E \times F)=\mc B(E) \otimes \mc B(F)\]
, dove $E=F=\mb R$.
\end{oss}
\begin{oss}Le funzioni
\[(x+y) \mapsto x+y\]
e
\[(x,y) \mapsto x\cdot y\]
 sono boreliane (perché continue). Date $f,g$ misurabili a valori reali, $[f, g]$ è ancora misurabile e quindi lo saranno $f+g$ ed $f\cdot g$.
\end{oss}

E se $f,g$ sono numeriche? Si adotta solitamente la convenzione
\[0 \cdot \pm \infty = \pm \infty \cdot 0 = 0\]
anche se così si perde la continuità, dato che
\[\lim_{\epsilon \ra 0} \infty \cdot \epsilon= \infty \not = \infty \cdot 0=0\]

La moltiplicazione così ``prolungata'', pur perdendo la continuità, è ancora boreliana su $\erre$: lo si vede per rincollamento. Invece non c'è un modo elegante\footnote{ovvero simmetrico} per estendere l'addizione tra reali a tutto $\overline{\mb R}$ mantenendone la borelianità, per cui la consideremo semplicemente non definita sulle coppie $(- \infty, \pnfty)$ e $(\pnfty, - \infty)$.

\subsubsection{Operazioni infinite}
Sia $\{f_i\}_{i \in I}$ una famiglia numerabile di funzioni numeriche misurabili su $\spm$: allora l'\emph{inviluppo superiore}, ovvero $\sup_{i \in I} f_i$, è misurabile.\\
Infatti, preso un qualsiasi $t \in \overline {\mb R}$:
\[\left \{\sup_{i \in I} f_i \leq t\right\}= \bigcap_{i \in I}\{f_i \leq t\} \in \mc E\]
In questo modo $\sup_{i \in I}f_i$ è ben definita su $\{[- \infty, t ] \mid t \in \overline {\mb R}\}$, che è una base di $\mc B(\overline R)$.

Un ragionamento assolutamente simile si può fare per l'\emph{inviluppo inferiore}, il limite superiore e il limite inferiore.

Inoltre, se $\forall i \in I \;\;\; f_i \geq 0$ ed $f_i$ è misurabile, lo è anche anche:
\[\sum_{i \in I} f_i\]

\subsubsection{Funzioni semplici}
Dato $\spm$, $f$ definita su $E$ si dice \emph{semplice} se è a valori in $\mb R$, misurabile e con immagine finita. Vediamo subito un esempio dell'importanza del concetto di semplicità.

\begin{teo}[Teorema di approssimazione]
 Ogni funzione positiva misurabile da uno spazio misurabile $\spm$ in $\mb R$ è l'inviluppo superiore di una successione crescente di funzioni semplici.
\end{teo}

\begin{proof}
 \[f = \sup_{\alpha \in \mb Q^+} \alpha I_{f > \alpha}\]
%***disegno
Infatti, dato un $x \in \erre$ qualsiasi,
 \[f(x) = \sup_{\genfrac{}{}{0cm}{1}{\alpha \in \mb Q^+}{ \alpha < f(x)}} \alpha = \sup_{\alpha \in \mb Q^+} \alpha I_{f(x) > \alpha}\]

Posto quindi $\mb Q^+=\{\alpha_i\}_{i \in \mb N}$, la successione definita come\footnote{Con il simbolo $\land$, mutuato dalla logica, si indica il ``massimo tra''; similmente, con $\lor$ indicheremo il ``minimo tra''.}
\[f_n \stackrel{def}{=} (\alpha_1 I_{f > \alpha_1} \land \dots \land \alpha_n I_{f > \alpha_n})\]
è crescente e converge proprio a $f$.\\
\end{proof}

\subsection{Definizione di integrale}
Fissato uno spazio misurato $\spM$, definiamo l'\emph{integrale} delle funzioni (numeriche) positive e misurabili su $\spm$.\\
È un funzionale
\[f \mapsto J(f) \in [0, + \infty] \]
che vogliamo rispetti le seguenti proprietà:
\begin{enumerate}
 \item $J(I_A)=\mu(A)$
 \item $\forall I \subset \mb N$ finito,
\[J \left (\sum_{i \in I}\alpha_i f_i \right )=\sum_{i \in I}\alpha_i J(f_i)\]
 \item \emph{(proprietà di Beppo-Levi)}
\[0 \leq f_n \uparrow f \RA J(f)=\lim_{n \ra + \infty} J(f_n)\]
\end{enumerate}

Per costruire questo funzionale, che d'ora in poi indicheremo come $\int f d \mu$, possiamo definirlo inizialmente sulle funzioni semplici:
\[J(f)=\int f d \mu = \sum_{y \in f(E)} f(y) \cdot \mu\{f=y\}\]
quindi estenderlo ad una qualunque funzione misurabile vista come limite superiore di una successione di funzioni semplici, verificando che le tre condizioni poste rimangono valide.

Si dimostrano quindi altre proprietà:
\begin{enumerate}
 \item $\int I_a d\mu=\mu(A)$
 \item\emph{(integrazione per serie)}\\
Dati $I \subset \mb N$ numerabile, $f_i \geq 0, \alpha_i \in [0, + \infty]$,
\[\int \left(\sum_{i \in I} \alpha_i f_i d\mu\right)=\sum_{i \in I} \alpha_i \int f_i d \mu\]
 \item $0 \leq f \leq g \RA \int f d\mu \leq \int g d\mu$
 \item \emph{(proprietà di Beppo-Levi, versione completa)}
\[0 \leq f_n \uparrow f \RA \int f_n d\mu \uparrow \int f d \mu\]
 \item \emph{(lemma di Fatou)}
\[f_n \geq 0 \RA \int (\liminf_{n \in \mb N} f_n) d \mu \leq \liminf_n \int f_n d \mu\]
\end{enumerate}
\begin{proof}[Dimostrazione del lemma di Fatou]
 Innanzitutto, chiariamo cosa intendiamo per limite inferiore di una successione di funzioni: per ogni $n \in \mb N$, sia $g_n$ l'\emph{inviluppo inferiore della coda}, ovvero
\[g_n \stackrel{def}{=}\inf_{m \geq n} f_m\]


Allora \[\liminf_{n \in \mb N} f_n \stackrel{def}{=}g=\sup_{n \in \mb N} g_n\]

A questo punto, essendo la successione delle $g_n$ crescente,
\[g_n \leq f_n \RA \int g_n d \mu \leq \int f_n d \mu \RA \int g d \mu = \lim_{n \in \mb N} \int g_n d \mu \leq \liminf_{n \in \mb N} \int f_n d \mu\]
\end{proof}

\subsection{Funzioni integrabili}
Data una funzione reale (ma non più necessariamente definita positiva) $f$, stabiliamo le seguenti notazioni:
\[f^+\stackrel{def}{=}\sup(f, 0)\]\[f^-\stackrel{def}{=}\sup(-f, 0)\]
Osserviamo che $|f|=sup(f, -f)=f^++f^-$ e che se $f$ è misurabile lo sono anche $f^+, f^-$.\\
Siamo quindi tentati di stabilire:
\[\int f d \mu \dfn\int f^+ d \mu - \int f^- d \mu\]
ma possiamo farlo solo a certe condizioni:
\begin{itemize}
 \item $f$ si dice \emph{semintegrabile inferiormente} se $\int f^- d \mu < \infty$
 \item $f$ si dice \emph{semintegrabile superiormente} se $\int f^+ d \mu < \infty$
 \item $f$ sarà quindi \emph{integrabile} se è integrabile superiormente ed inferiormente (e quindi $\int |f| d \mu < \infty$)
\end{itemize}
Osserviamo che $\left |\int f d\mu \right|\leq \int |f| d\mu$ (è vero in generale che $|a+b| \leq |a|+|b|$).\\

Sia\footnote{Con $\mb R^E$ si indica l'insieme di funzioni da $E$ in $\mb R$ (si osservi che una tale notazione è coerente con quella utilizzata per $\mb R^n$, se si intende $n$ come viene definito classicamente in logica, ovvero come un insieme).}
\[\mc L^1(\mu) \stackrel{def}{=} \left \{f \in \mb R^E \mid f \text{ misurabile}, \int |f| d \mu < \infty\right\} \]

$\ldm$ è uno spazio vettoriale su $\erre$; inoltre, date $f, g \in \ldm$ qualsiasi, $f \land g, f \lor g \in \ldm$.

\begin{teo}[Teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata]$\;$\\
 Sia $(f_n)_{n \in \mb N}$ una successione di funzioni in $\ldm$.\\ Se esistono $g, h \in \ldm$ tali che
\[\forall n \; g \leq f_n \leq h\]
e $f_n \uparrow f$, allora $f$ è integrabile e
\[\int f_n d \mu \ra \int f d \mu\]
\end{teo}

\begin{proof}
 Siccome le $f_n$ e $g$ sono integrabili e $\forall n \; g \leq f_n$, sappiamo che $\liminf_n f_n$ è semintegrabile inferiormente e (per il lemma di Fatou) \[\int(\liminf_n f_n) d \mu \leq \liminf_n \int f_n d \mu\]

Similmente, $\limsup_n f_n$ è semintegrabile superiormente e
\[\int(\limsup_n f_n) d \mu \geq \limsup_n \int f_n d \mu\]
Siccome poi
\[\liminf_n f_n = \limsup_n f_n = f\]
otteniamo:
\[\int f d \mu \geq \limsup_n \int f_n d \mu \geq \liminf_n \int f_n d \mu \geq \int f d \mu\]

Quindi limite superiore ed inferiore coincidono in $\int f d\mu$.
\end{proof}

\subsubsection{Notazione}
Spendiamo due parole sulla notazione utilizzata per gli integrali; sono considerate equivalenti le seguenti\footnote{E anzi il prof. Letta predilige la notazione in cui la misura si scrive subito accanto all'integrale; io però preferisco l'altra e quindi è quella che qui ho sempre usato.}:
\begin{align*}
&\int f d \mu & &\int f(x) \mu(dx) \\
 &\int f(x) d \mu(x) & &\int \mu(dx) f(x)
\end{align*}
Inoltre, la seguente definizione ci permette di trattare agevolmente un integrale su $F \subsetneq E$ (dove $A \subset F$):
\[\int_A f(x) \mu(dx) \stackrel{def}{=} \int I_A(x) f(x) \mu(dx)\]

\begin{teo}
 Data $f$ misurabile su $\spm$, sono equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item[a)] $\int |f|=0$
 \item[b)] $\forall \epsilon > 0 \; \mu\{|f| > \epsilon\}=0$
 \item[c)] $f \sim 0 (\mod \mu)$, ovvero $\mu\{|f|>0\}=0$
\end{enumerate}

\end{teo}

\begin{proof}
\begin{itemize}
\item \emph{a)}$\RA$\emph{b)}: \[\epsilon I_{|f| > \epsilon} \leq |f| \RA \epsilon \mu \{|f| > \epsilon\} \leq \int |f| d \mu =0 \RA \mu \{|f| > \epsilon\}=0\]
\item \emph{b)}$\RA$\emph{c)}:
\[\{|f| > 0\}= \bigcup_{n > 0}\left \{|f| > \frac{1}{n} \right \}\]
che è trascurabile in quanto unione numerabile di insiemi trascurabili.\\
\item \emph{c)}$\RA$\emph{a)}:
\[|f| \leq \infty \cdot I_{\{|f| > 0\}} \RA \int |f| d \mu \leq \infty \cdot \mu\{|f| > 0\}=\infty \cdot 0=0\]
\end{itemize}
\end{proof}

Diremo $f$ \emph{trascurabile rispetto a $\mu$} se:
\begin{itemize}
 \item è misurabile
 \item valgono \emph{a)}, \emph{b)}, \emph{c)}
\end{itemize}

\subsection{Proprietà degli integrali}

\begin{oss}
 Se $f$ è integrabile, è quasi ovunque finita (ovvero l'insieme $\{|f| = + \infty\}$ è trascurabile).
\end{oss}

\begin{proof}
 Sia $A=\{|f| = + \infty\}$.
\[I_A \leq |f| \RA + \infty \cdot \int I_A \leq \int |f| < \infty \RA \int I_A = 0 = \mu(A)\]
\end{proof}

Date $f,g$ misurabili, $f \sim g (\mod \mu) \RA f ,g$ sono indistinguibili dal punto di vista dell'integrazione.

\begin{proof}
 Supponiamo che $f, g$ siano positive e sia $A=\{f \not = g\}$ trascurabile. Allora
\[f= fI_A + fI_{A^C} \RA \int f = \int_A f + \int_{A^C} f = \int_{A^C} f \]

Similmente, $\int g = \int_{A^C} g$. Quindi:
\[\int g = \int_{A^C} g = \int_{A^C} f = \int f\]
\end{proof}

Sia $f$ una funzione misurabile, limitata su $A$ e misurabile; se $\mu(A) < + \infty, f$ è integrabile su $A$.\\
Infatti per un certo $c \in \mb R^+$ avremo $|f|I_A \leq c$ e quindi la funzione $fI_A$ è misurabile. A questo punto
\[ \int_A |f| d \mu = \int |f| I_A d\mu \leq \int c I_A d \mu = c\mu(A) < + \infty\]

\begin{smp}
 Consideriamo il caso particolare di spazio misurato $(\mb R, \mc B(\mb R), \lambda)$, dove con $\lambda$ indichiamo la misura di Borel-Lebesgue.\\

Se una funzione $f$ è boreliana su $\erre$ e integrabile (o semintegrabile) secondo $\lambda$, si usa solitamente la seguente notazione semplificata:
\[\int_\mb R f(x) dx \dfn \int f d \lambda\]
 Più in generale, data $f$ integrabile su $A \in \mc B(\mb R)$,
\[\int_A f(x) dx \dfn \int_A fd \lambda \]

Spesso poi $A$ sarà un intervallo di estremi $a,b \in \erre$ con $a<b$, e allora
\[\int_a^b f(x) dx\dfn \int_A f(x) dx = \int_A fd \lambda\]
\end{smp}

\begin{oss}
 La notazione che abbiamo appena utilizzato per indicare l'integrale su un intervallo fornendo gli estremi è nota e diffusa in matematica. Ma se
\[\int_a^b f d \lambda \stackrel{def}{=}\int_A f d \lambda \text{ ,}\]
cosa sarà esattamente $A$? Sarà $[a,b], [a,b), (a,b]$ o $(a,b)$?\\
La risposta è che in realtà non ci interessa, perché $\lambda$ è una misura diffusa e quindi $\mu\{a,b\}=0$.
\end{oss}

Vitali, nel 1904, stabilì la correlazione tra l'integrale secondo Riemann e quello secondo Lebesgue; più precisamente, dimostrò l'equivalenza dei seguenti due enunciati:
\begin{enumerate}
 \item $f$ è integrabile su $[a,b]$ secondo Riemann
 \item l'insieme\footnote{Si verifica facilmente che, dato uno spazio topologico $E$ ed una funzione $f : E \ra \overline{\mb R}$, l'insieme dei punti di discontinuità è sempre un boreliano di $E$.} dei punti di discontinuità di $f$ è trascurabile secondo $\lambda$
\end{enumerate}

e dimostrò che se valgono $1), 2)$, allora l'integrale di Riemann e quello di Lebesgue coincidono.\\


\subsection{Prodotto di misure}

Una misura $\mu$ si dice $\sigma$-finita su $E$  se
\[E= \bigcup_{i \in I} E_i \text{ con } I \text{ numerabile e } \forall i \; \mu(E_i)< + \infty \]

\begin{teo}
 Data una $n$-upla di spazi misurati $(E_i, \mc E_i, \mu_i)$, se $\forall i \leq n \; \mu_i$ è $\sigma$-finita su $E_i$, allora su $\mc E_i \otimes \dots \otimes \mc E_n$ è possibile definire la seguente misura $\mu$:
\[\mu \left (\prod_{i=1}^n A_i \right) \stackrel{def}{=} \prod_{i = 1}^n \mu_i(A_i)\]

$\mu$ è $\sigma$-finita e si denota con $\mu_1 \otimes \dots  \otimes \mu_n$.
\end{teo}

\paragraph{Caso speciale:} se consideriamo il caso in cui ogni spazio della ennupla è $(\mb R, \mc B(\mb R), \lambda)$, la misura $\lambda \otimes \dots \otimes \lambda$ si può scrivere come $\lambda^{\otimes n}$ e risulta particolarmente importante in quanto:
\begin{itemize}
 \item per $n=2$, indica l'\emph{area} di una porzione di piano
 \item per $n=3$, indica il \emph{volume} di una porzione di spazio
\end{itemize}

\paragraph{Notazione:}
\[\int_{\mb R^n} f(x_1 \dots x_n) dx_1 \dots x_n\stackrel{def}{=} \int_{\mb R^n} f(x) dx \stackrel{def}{=}  \int f d \lambda^{\otimes n} \]
\[\int_{A} f(x) dx \stackrel{def}{=}  \int_A f d \lambda^{\otimes n} \]

\subsection{Teorema di Fubini}
\begin{teo}[Teorema di Fubini per funzioni positive.]
Dati due spazi $\spM$, $(F, \mc F, \nu)$ con $\mu, \nu$ entrambe $\sigma$-finite, sia $f$ una funzione positiva e misurabile su $(E \times F, \mc E \otimes F, \mu \otimes \nu)$. Allora:

\begin{enumerate}
 \item $\forall x \in E$ la funzione $y \mapsto f(x,y)$ è positiva e misurabile su $(F, \mc F)$ ed il suo integrale è
\[\int f(x,y) \nu(dy)\]
 \item la funzione $x \mapsto \int f(x,y) \nu(dy)$ è a sua volta positiva e misurabile su $\spm$, per cui ha senso considerare
\[\int_E \int_F f(x,y) \nu(dx) \mu(dx) \]
che chiameremo \emph{integrale iterato di $f$ rispetto a $(\mu, \nu)$}.
 \item
\[\int f d(\mu \otimes \nu) = \int \int f(x,y)\nu(dy)\mu(dx)\]
\end{enumerate}

\end{teo}

Un enunciato analogo vale per le funzioni non necessariamente positive ma \emph{limitate}.\\

Se $f$ è una funzione indicatrice $I_C$, allora $y \mapsto I_C(x,y)$ è l'indicatrice della \emph{sezione} $C_x\stackrel{def}{=} \{y \in F \mid (x,y) \in C\}$

In termini intuitivi, il teorema di Fubini ci dice che per calcolare un'area, un volume o, in generale, la misura di uno spazio, possiamo ``affettarlo'' per abbassare la dimensione del problema.

\begin{teo}
 Sia $f \geq 0$ boreliana su $\mb R$ e sia $C$ il suo \emph{sottografico}:

\[C=\{(x,y)\in \mb R^2\mid 0 \leq y \leq f(x)\}\]
Allora:
\begin{enumerate}
 \item $C$ è un boreliano di $\mb R^2$
 \item $(\lambda \otimes \lambda)(C)=\int_\mb R f(x)dx$
\end{enumerate}
\end{teo}

\begin{proof}
 Ovviamente
\[\{(x,y) \in \mb R^2 \mid y \geq 0\} \in \mc B(\mb R^2)\]
quindi
\[\{(x,y) \in \mb R^2 \mid f(x)-y \geq 0\} \in \mc B(\mb R^2)\]
 perché $(x,y) \mapsto f(x) -y$ è boreliana in quanto differenza di due funzioni boreliane.\\
A questo punto è sufficiente applicare il teorema di Fubini con \[C(x)=[0, f(x)] \cap \mb R\]
\end{proof}


\subsubsection{Altre operazioni con le misure}

Consideriamo uno spazio $(E, \mc E, \lambda)$ con $\lambda$ una misura qualsiasi; sia inoltre $f \geq 0$ misurabile su $\spm$.\\
Per ogni $A \in \mc E$, definiamo:
\[\mu(A) \stackrel{def}{=} \int_A f d \lambda = \int fI_A d \lambda\]

Allora $\mu : \mc E \ra [0, + \infty]$ è una misura.\\
Infatti, dato $A \in \mc E$ ed $I$ numerabile
\begin{align*}
A=\bigsqcup_{i \in I}A_i &\RA I_A = \sum_{i \in I}I_A\\
&\RA fI_A=\sum_{i \in I} f I_{A_i}\\
 &\RA \int fI_A d \lambda = \sum_{i \in I} \int fI_A d \lambda\\
&\RA \mu(A) = \sum_{i \in I}\mu(A_i)
\end{align*}

$\mu$ si denota con $f \cdot \lambda$ ed ha la caratteristica di annullarsi su ogni insieme $A$ trascurabile secondo $\lambda$.\\
Più in generale, se $\lambda=0 \RA \mu=0$, allora $\mu$ si dice \emph{assolutamente continua} rispetto a $\lambda$, e si scrive $\mu \ll \lambda$.

\begin{teo}[Teorema di Radon-Nikodym]
Siano $\lambda, \mu$ due misure $\sigma$-finite su $\spm$. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item $\mu \ll \lambda$
 \item $\exists f \geq 0$ misurabile su $\spm$ tale che $\mu = f \cdot \lambda$
\end{enumerate}


 
\end{teo}
Che \emph{2)} $\RA$ \emph{1)}, è ovvio: $f(x) \cdot 0=0$.

La dimostrazione di \emph{1)} $\RA$ \emph{2)} invece non fa parte del programma di questo corso, dato che sono necessari strumenti più avanzati (le \emph{martingale}).

\begin{oss}
 $f, g \geq 0$ misurabili, $f \sim g (\mod \lambda) \RA f \cdot \lambda \equiv g \cdot \lambda$
\end{oss}

\begin{prp}
 data una misura $\sigma$-finita $\lambda$ ed $f, g$ misurabili non negative  su $\spm$ sono equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item $f \leq g$ quasi ovunque ($\lambda \{g < f\}=0$)
 \item $f \cdot \lambda \leq g \cdot \lambda$\\ (cioé $\forall A \;\;\; (f \cdot \lambda)(A) \leq (g \cdot \lambda) (A)$)
\end{enumerate}

\end{prp}
\begin{proof}
 \emph{1.} $\RA$ \emph{2.}: ovvio; si può supporre $f \leq g$ ovunque, mantenendo inalterate le misure $f \cdot \lambda$ e $g \cdot \lambda$. A quel punto, \emph{2.} deriva dall'isotonia dell'integrale.\\
\emph{2.} $\RA$ \emph{1.}:
\[\{g < f\} = \bigcup_{\genfrac{}{}{0cm}{1}{a, b \in \mb Q^+}{a < b}}\]
È sufficiente dimostrare che ogni insieme $A_{a,b}$ della forma
\[A_{a,b}=\{x \mid g(x) \leq a < b \leq f(x)\}\]
è trascurabile: a quel punto la loro unione è trascurabile.\\
Supponiamo quindi per assurdo che, dati $a,b$ opportuni, $\lambda (A_{a,b}) > 0$. Allora:
\[\int_{A_{a,b}} g d \lambda \leq a \lambda (A_{a,b}) < b \lambda(A_{a,b}) \leq \int_{A_{a,b}} f d\lambda \RA (g \cdot \lambda)(A_{a,b}) < (f\cdot \lambda)(A_{a,b})\]
Ma siccome $g$ ed $f$ sono misurabili, $A_{a,b} \in \mc E$: stiamo quindi contraddicendo \emph{2.}
\end{proof}

\begin{cor}\label{rel versioni prob}
 Nelle stesse ipotesi,
\[f \cdot \lambda \equiv d \cdot \lambda \iff f \sim g (\mod \lambda)\]
\end{cor}

\subsection{Versione della densità}
Data una misura \emph{base} $\lambda$ che sia $\sigma$-finita, diciamo che $\mu$ \emph{ammette $f$ come versione della propria densità rispetto a $\lambda$} se
\[\mu=f \cdot \lambda\]

Inoltre, una funzione $f$ tale che appunto $\mu=f \cdot \lambda$ viene detta \emph{densità} di $\mu$ rispetto a $\lambda$.

\subsection{Funzioni di ripartizione}
Consideriamo una misura di probabilità $\mu$ su $\mc B(\mb R)$. La sua funzione di ripartizione è $ F:  \mc R \ra [0,1]$ definita come
\[F(x)= \mu(]- \infty, x])\;\;\;\forall x \in \mb R \]

Si verifica facilmente che
\begin{enumerate}
 \item[(a)] $F$ individua univocamente $\mu$
 \item[(b)] $F$ è continua a destra
 \item[(c)] se indichiamo con $F_-$ ed $F_+$ rispettivamente il limite sinistro ed il limite destro di $F$,
\[F_+(x) = F(x) \geq F_-(x)= \mu(]- \infty, x[)\]
\[\Delta F(x) \stackrel{def}{=}F(x) - F_-(x) = \mu(x)\]
 \item $F$ è continua $\iff \mu$ è diffusa
\end{enumerate}
Inoltre:
\begin{teo}Sia $\lambda$ la misura di Borel-Lebesgue su $\mb R$ e sia $\mu$ un'altra misura con funzione di ripartizione $F$ derivabile in quasi (secondo $\lambda$) ogni punto di $\mb R$. Allora:
\begin{enumerate}
 \item l'insieme $B$ dei punti dove $F$ non è derivabile è boreliano e $\lambda(B)=0$.
 \item{(Decomposizione di $\mu$ secondo Lebesgue)}\\
Posta
\[f(x)=\begin{cases}
        F'(x) &\text{ se } x \not \in B\\
        0 &\text{ se } x \in B
       \end{cases}
\]
$f$ è sempre positiva, è boreliana e, $\forall A \in \mc B(\mb R)$,
\[\mu(A) = \int_A f(x) dx + \mu(A \cap B)\]

ovvero $\mu = f \cdot \lambda + I_B \cdot \mu$.\\
\end{enumerate}
\end{teo}
Quella data si può giustamente chiamare \emph{decomposizione} perché $f\cdot \lambda$ e $I_B \cdot \mu$ sono due misure \emph{estranee}: la massa della prima è concentrata su $B$ (perché $f \cdot \lambda \ll \lambda$), quella della seconda su $B^C$.\\

Il termine $I_B \cdot \mu$ si dice \emph{singolare}.

\begin{cor}
 Nelle ipotesi del teorema precedente, sono equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item[(a)] $\mu \ll \lambda$
 \item[(b)] $\mu(B) = 0$
 \item[(c)] $\mu = f \cdot \lambda$
\end{enumerate}

\end{cor}

\begin{proof}
 \emph{(a) $\RA$ (b)}: per ipotesi, $\lambda(B)=0$; dall'assoluta continuità di $\mu$ rispetto a $\lambda$ segue che $\mu(B)=0$.\\
Le implicazioni \emph{(b) $\RA$ (c)} e \emph{(c) $\RA$ (a)} sono ovvie.
\end{proof}

\begin{oss}
 Se $B$ è numerabile\footnote{Ci ho pensato e ripensato, ma un esempio di funzione crescente con una quantità più che numerabile di punti di non derivabilità non l'ho proprio trovato.} sono equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item[(a)] $\mu \ll \lambda$
 \item[(b)] $\mu$ è diffusa ($F$ è continua)
\end{enumerate}
\end{oss}

Possiamo ora provare a giustificare intuitivamente l'utilizzo che facciamo della parola ``densità''.\\

Sia $\mu \ll \lambda$: una possibile $f$ tale che $\mu = f \cdot \lambda$ è proprio:
\[f(x)=\begin{cases}
                        F'(x) & \text{ se }x \not \in B\\
                        0 & \text{ se }x \in B
                       \end{cases}
\]

Osserviamo quindi che
\[\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{\mu([x, x+h])}{\lambda([x, x+h])} \stackrel{\genfrac{}{}{0cm}{1}{h \ra 0}{x \not \in B}}{\ra} f(x)\]
ovvero $f(x)$ è il limite puntuale di una densità media, ovvero del rapporto tra una ``quantità'' ($\mu$) contenuta in uno ``spazio'' e la ``dimensione'' ($\lambda$) dello ``spazio'' stesso.

\subsection{Caso discreto}
Consideriamo uno spazio $\spm$ con $E$ numerabile ed $\mc E = \mc P(E)$; sia $\mu$ una misura di probabilità su di esso e $f$ la rispettiva densità discreta: $f(x)\stackrel{def}{=}\mu\{x\}$.\\
Sia poi
\[\lambda \stackrel{def}{=} \sum_{x \in E} \mc E_x\]
ovvero la misura ``che conta i punti''.

Allora $\mu=f \cdot \lambda$, dato che coincidono su ciascun singoletto:
\[\lambda\{x\}=1 \RA \mu\{x\}= (f\cdot \lambda)\{x\}=f(x)\]

Siccome $\lambda$ è $\sigma$-finita (essendo finita su ogni punto di uno spazio numerabile), per il Corollario \ref{rel versioni prob} sapevamo che esiste ed è unica una versione di $\mu$ rispetto a $\lambda$: tale versione è appunto $f$.

\subsection{Integrazione rispetto ad una misura definita da una densità}
\begin{teo}
 Data una qualsiasi funzione numerica e misurabile $g \geq0$, sia $\mu = f \cdot \lambda$. Allora
\[\int g d \mu = \int (g \cdot f) d \lambda\]
\end{teo}
\begin{proof}
 
\begin{oss}\label{oss1}
 Se
\[g = \sum_{i \in I} c_i g_i\]
con $c_i \in \mb R^+$ e  $g_i$ è misurabile positiva $\forall i \in I$ e la tesi è vera per ognuna delle $g_i$, allora vale anche per $g$.\\

Infatti
\begin{align*}
 \int g_i d \mu =& \int g_i f d \lambda \\
\RA   \sum_{i\in I} c_i \int g_i d \mu =& \sum_{i \in I} c_i \int g_i f d \lambda \\
\RA   \int \sum_{i\in I} c_i g_i d \mu =&  \int \sum_{i \in I} c_i g_i f d \lambda \\
\RA  \int g d\mu =& \int (g \cdot f) d \lambda
  \end{align*}
\end{oss}
\begin{oss}\label{oss2}
 La tesi è banalmente vera quando $g = I_A$ con $A \in \mc E$.\\
Infatti
\[\int I_A d \mu = \int (I_A f) d \lambda\]
poiché
\[\mu(A) = \int_A f d \lambda\]
\end{oss}

Le osservazioni \ref{oss1} e \ref{oss2} ci dicono che la tesi è vera se $g$ è semplice e positiva, perché in questo caso:
\[ g = \sum_{y \in D} y \cdot I_{g=y}\]
dove $D=g(E) \subset \mb R^+$\\

Data $g \geq 0$ misurabile, per il teorema di approssimazione di Lebesgue sappiamo che c'è una successione $0 \leq g_n \uparrow g$, e per la proprietà di Beppo Levi sfruttata su entrambi i termini questo ci permette di concludere:
\[
\xymatrix{
\int g_n d\mu \ar[d] \ar@{}[r] |{=} & \int (g_n f) d \lambda \ar[d]\\
\int g d \mu \ar@{}[r] |{=} & \int(g f ) d \lambda
}\]
\end{proof}

Possiamo estendere naturalmente il risultato ad una funzione $g$ numerica misurabile qualsiasi, applicandolo separatamente a $g^+$ e $g^-$:
\[\int g^+ d \mu = \int g^+ f d \lambda = \int (g f ) ^+ d \lambda\]
\[\int g^- d \mu = \int g^- f d \lambda = \int (g f ) ^- d \lambda\]

$g$ è semintegrabile inferiormente (superiormente) rispetto a $\mu \iff g \cdot f$ è semintegrabile inferiormente (superiormente) rispetto a $\lambda$

Se $g$ è semintegrabile, basta una sottrazione per verificare che:
\[\int g d \mu = \int (g f ) d \lambda\]

Esiste un enunciato analogo a quello appena visto che riguarda l'integrazione rispetto ad una misura immagine:
\begin{teo}{(Teorema sull'integrazione rispetto ad una misura immagine)}\label{Integrazione rispetto ad una misura immagine}\\
 Siano $\mu=f(\lambda), g \geq 0$; allora
\[\int g d \mu = \int (g \circ f) d \lambda\]

Ovvero il seguente diagramma commuta:
\[\xymatrix{
\spM \ar[d]^f \ar[dr]^{g \circ f}\\
(F, \mc F) \ar[r]^g & \overline { \mb R}
}\]
\end{teo}
\begin{proof}
 La struttura della dimostrazione è identica a quella del teorema precedente, è sufficiente verificare che la tesi vale per le funzioni indicatrici:
\begin{align*}
\int I_A d \mu &= \int I_A d f(\lambda)\\
&= \int I_{f^{-1}(A)} d \lambda\\
&= \lambda (f^{-1}(A))\\
&= \mu(A)\\
&= \int_A  f d \lambda\\
&= \int (I_A \circ f ) d \lambda
\end{align*}

\end{proof}

\begin{oss}
 In sintesi l'equazione
\[\int g d \mu = \int (g \cdot f) d \lambda\]
vale ogni qualvolta uno dei due membri abbia senso; in tal caso infatti ha senso anche l'altro e sono uguali.
\end{oss}

\subsubsection{Sul prodotto di due misure $\sigma$-finite}
Consideriamo due spazi misurati $\spM, (F, \mc F, \nu)$ con $\mu, \nu$ entrambe $\sigma$-finite.\\

Potremmo volerci chiedere se $\mu \otimes \nu$ è uguale a $\nu \otimes \mu$.\\
In realtà, dato che sono misure su spazi diversi (rispettivamente $E\times F$ ed $F \times E$), a rigor di termini la domanda non avrebbe senso; tuttavia, c'è un'applicazione $f((y,x)) \stackrel{def}{=}(x,y)$ che li mette naturalmente in relazione, quindi la domanda corretta è:
\[\mu \otimes \nu \stackrel{?}{=} f (\nu \otimes \mu)\]

La risposta è sì, dato che $f (\nu \otimes \mu)$ e $\mu \otimes \nu$ coincidono sui rettangoli $A \times B$ con $A \in \mc E, B \in \mc F$:
\begin{align*}
f(\nu \otimes \mu)(A \times B) &= (\nu \otimes \mu) f^{-1}(A \otimes B)\\
& = (\nu \otimes \mu)(B \times A)\\
&=\nu(B)\mu(A)=\mu(A)\nu(B)\\
&=(\mu \otimes \nu)(A \times B) 
\end{align*}

\paragraph{Invertibilità dell'ordine di integrazione}
Nelle stesse ipotesi su $\mu, \nu$, sia $g \geq 0$ misurabile su $(E \times F, \mc E \otimes \mc F)$.\\
Allora
\begin{align*}
 \int \int g(x,y) \mu(dx) \nu(dy) &\stackrel{1}{=} \int g d(\mu \otimes \nu) \\
&\stackrel{2}{=} \int (g \circ f) d(\nu \otimes \mu) \\
&\stackrel{3}{=} \int \int g(f(x,y)) \nu(dy) \mu(dx)\\
&= \int \int g(x,y) \nu(dy) \mu(dx)
\end{align*}
dove le equivalenze $\stackrel{1}{=}, \stackrel{3}{=}$ si giustificano con Fubini, la $\stackrel{2}{=}$ con il teorema \ref{Integrazione rispetto ad una misura immagine} sull'integrazione rispetto ad una misura immagine.\\

Lo stesso si può dire - sfruttando l'altra versione del teorema di Fubini, se di $g$ non si sa che è sempre positiva ma si sa che è limitata (oltre che ovviamente misurabile): in tale caso è però necessario esigere anche che $\mu$ e $\nu$ siano finite.

\begin{oss}
 Nel caso in cui $g$ sia limitata ma $\mu, \nu$ non siano finite (non è sufficiente che siano \emph{$\sigma$-finite}), in generale l'invertibilità dell'ordine non vale.
\end{oss}

\section{Speranza di una variabile aleatoria}
Sia $\spp$ uno spazio probabilizzato e sia $X$ una variabile aleatoria numerica. Se $X$ è semintegrabile, chiamiamo \emph{speranza} di $X$ il valore:
\[E[X]\dfn \int X dP\]

\subsection{Speranza di una funzione composta}
Sia $\spp$ uno spazio probabilizzato e $X : \Omega \ra \spm$ una variabile aleatoria. Sia inoltre $g$ una funzione misurabile su $\spm$.\\
Allora\footnote{Qualora, ovviamente, i due termini abbiano senso.}

\begin{minipage}{.48\textwidth}
 
\[E [g \circ X]= \int g  d\mu\]
dove  $\mu=X(P)$.\\


Infatti, per i teoremi precedenti,
 \end{minipage}%
\begin{minipage}{.48\textwidth}
    \[\xymatrix{
E\ar[r]^g & \overline {\mb R}\\
\Omega\ar[u]^X \ar[ur]_{g \circ X}
}\]
  \end{minipage}%

\[\int g d \mu = \int g d X(P) = \int (g \circ X) dP = E [g \circ X]\]

\subsubsection{Casi particolari}
Sia $X$ una variabile aleatoria reale su $\spp$, sia $\mu = X(P)$.\\
Osserviamo che
\[E[|X|]=\int_\mb R |X| d\mu \]
Questa quantità, se esiste, si dice \emph{momento assoluto del 1º ordine} di $X$.\\

Similmente:
\begin{itemize}
 \item $E[X^2] = \int_\mb R |X|^2 \mu(dx)$\\
Questa quantità, sempre se esiste, si dice \emph{momento assoluto del 2º ordine}.

 \item $E[X^+] = \int_\mb R |X|^+ \mu(dx)$
 \item $E[X^-] = \int_\mb R |X|^- \mu(dx)$
\end{itemize}

\begin{oss}
 Affinché $X$ ammetta una speranza (ovvero sia semintegrabile), occorre e basta che $E[X^+]<\infty$ oppure $E[X^-]< \infty$, cioé che la funzione identità sia semintegrabile rispetto a $\mu$.
\end{oss}

La quantità \[E[x]=\int_\mb R x d \mu\] si dice \emph{baricentro} di $\mu$.\\

\begin{oss}
La speranza di una qualsiasi variabile aleatoria reale $X$ (qualora esista) dipende soltanto dalla sua legge $\mu$: infatti è proprio il baricentro di $\mu$.
\end{oss}

\begin{smp}
 Sia $X$ una variabile aleatoria reale su $\spp$, sia $\mu=X(P)$. Allora, posto $A=\{(x,y) \in \mb R^2 \mid 0 <y <x\}$,
\begin{align*} 
E[X^+]=\int X^+ \mu(dx)&=(\mu \otimes \lambda)(A)\\
&= \int_0^\pnfty \mu(]y, \pnfty[) dy\\
&= \int_0^\pnfty P\{X > y\} dy\\
&= \int_0^\pnfty G(y) dy
\end{align*}
dove
\begin{align*}
 G(y)&=P\{X > y\}\\
&=\mu(]y, \pnfty[)\\
&=1 - \mu(]- \infty, y[)
\end{align*}

Ora sappiamo quindi che se $X\sim X^+$,
\[E[X]=\int_0^\pnfty G(y) dy=\int_0^\pnfty 1- F(y) dy\]
dove $F$ è la funzione di ripartizione di $\mu$.
\end{smp}

\begin{prp}
 Siano $X,Y$ variabili aleatorie reali non negative ed indipendenti. Allora $E[X \cdot Y]=E[X]\cdot E[Y]$.
\end{prp}

\begin{proof}
 Siano $\mu=X(P), \nu=y(P)$; la condizione di indipendenza ci garantisce che
\[[X,Y](P)=\mu \otimes \nu\]
Ora $XY=g\circ [X,Y]$, dove
\[\begin{matrix}
g:&[0, \infty] \times [0, \infty] & \ra & [0, \infty]\\
&(x,y) &\ra & xy 
\end{matrix}
\]

Quindi:
\begin{align*}
 E[XY]=E[g \circ [X,Y] ] &\stackrel{1}{=} \int g d (\mu \otimes \nu)\\
&= \int \int g(x,y) \nu(dy)\mu(dx) \\
&=\int \int xy \nu(dy) \mu(dx) \\
&= (\int x \mu(dx))(\int y \nu (dy))\\
&= E[X]E[Y]
\end{align*}
$\stackrel{1}{=}$ si giustifica con il teorema sulla speranza di una funzione composta.
\end{proof}
Similmente, si dimostra che se $X,Y$ sono variabili aleatorie numeriche integrabili (non necessariamente non negative), allora $XY$ è integrabile e \[E[X \cdot Y]=E[X]\cdot E[Y]\]

Infatti è sufficiente ricondursi al caso precedente: osserviamo che
\[|XY| = |X||Y| \RA E[|XY|]=E[|X|]E[|Y|]< \infty\]
quindi $XY$ è integrabile. A questo punto scomponiamo le variabili aleatorie in parte positiva e parte negativa:
\[X=X^+ - X^-\]\[Y=Y^+ - Y^-\]
\[\RA XY=X^+Y^+ - X^+Y^- - X^-Y^+ + X^-Y^-\]
\begin{align*}
\RA E[XY]&=E[X^+Y^+] - E[X^+Y^-] - E[X^-Y^+] + E[X^-Y^-]\\
&=E[X^+]E[Y^+] - E[X^+]E[Y^-] - E[X^-]E[Y^+] + E[X^-]E[Y^-]\\
&=(E[X^+]-E[X^-])(E[Y^+]-E[Y^-])\\
&=E[X]E[Y]
\end{align*}

\subsection{Caso discreto}
Se abbiamo, su $\spp$, una variabile aleatoria $X$ discreta a valori in un insieme numerabile $D \subset [0, +\infty]$,
\[E[X]=\int X dP  \;\;\;\;\;\;\;\;\; X=\sum_{X \in D} x I_{X=x}\]
\[\RA E[X]=\sum_{X \in D}x P\{X=x\}= \sum_{x \in D} x \mu\{x\}\]

Ovvero se esiste $E[X]$ (che, come nel caso continuo, coincide con il baricentro di $X(P)$), non è altro che la cosiddetta \emph{media ponderata}.\\

\subsubsection{Speranza di variabili aleatorie note}
\begin{itemize}
 \item Speranza di una variabile aleatoria con legge di Bernoulli:
\[X(P)\sim\mc B(1,p) \RA X=I_{X=1} \RA E[X]=P\{X=1\}=p\]
\item Speranza di una variabile aleatoria con legge binomiale:
\begin{align*}X(P)=\mc B(n,p) \RA E[X]&=E[X_1 + \dots + X_n] \text{ con }X_i(P)\sim\mc B(1,p)\\
&=E[X_1] + \dots + E[X_n]=np
\end{align*}
\item Speranza di una variabile aleatoria con legge di Poisson:
\begin{align*}
X(P)\sim\mc P(\lambda) \RA E[X]&=\sum_{k \in \mb N} k e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\\
&= \sum_{k \in \mb N^*} k e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \\
&= \lambda e^{-\lambda} \sum_{k \in \mb N^*}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}  \\
&= \lambda e^{-\lambda} \sum_{k \in \mb N}\frac{\lambda^k}{k!}  \\
&= \lambda
\end{align*}

\item Speranza di una variabile aleatoria con legge geometrica:\\
\[X(\Omega)= \mb N \cup \{+ \infty\}\]
Denotiamo al solito con $G$ la funzione $y \mapsto P\{X>y\}$.\\
Osserviamo che $\forall n \in \mb N,\;\forall y \in [n, n+1[$ si ha $G(y)=G(n)$.

\begin{align*}
E[X^+]&=\int_0^\infty G(y) dy\\
&=\sum_{n \geq 0} \int_{[n , n+1[}G(y)dy\\
&= \sum_{n \geq 0} G(n)\\
&= \sum_{n \geq 0} P\{X > n\}\\
\RA E[X]&= \sum_{n \geq 0} P\{X>n\}=\sum_{n \geq 0} q^n=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{p}
\end{align*}

\item Speranza di una variabile aleatoria con legge di Pascal:\\
Sia $X(P)$ la legge di Pascal di parametri $k,p$; allora:
\begin{align*}
X&=U_1 + \dots + U_k \;\;\; \text{ con }U_i \sim \mc G(p)\\
 \RA E[X]&=k \frac 1 p = \frac k p
\end{align*}
\end{itemize}

\subsubsection{Media integrale}
Consideriamo $\spp$ ed un evento non trascurabile $H \subset \Omega$. Sappiamo allora che
\[P_H(A)\stackrel{def}{=}\frac{P(A \cap H)}{P(H)}\RA P_H=\frac{1}{P(H)}I_H \cdot P\]

Data una variabile aleatoria positiva $X$ su $\spp$, la quantità
\[E_H[X]\stackrel{def}{=}\int_H X dP_H = \int X \cdot \frac{1}{P(H)}I_H dP = \frac{1}{P(H)} \int_H X dP\]
viene detta \emph{media integrale di $X$ su $H$}.\\

\begin{oss}
 \[\int_H X dP=P(H)\int_H X dP_H\]
\end{oss}

\subsection{Disintegrazione (elementare)}
Sia $X$ una variabile aleatoria discreta su $\spp$ a valori in uno spazio numerabile $\spm$.\\
Siano $\mu=X(P)$ e $E_0=\{x \in E \mid \mu\{x\} \not =0\}$.\\
Allora, fissato $x \in E_0$, possiamo definire la probabilità
\[Q_x(A)\stackrel{def}{=}P(A\cap\{X=x\})\]
$(Q_x)_{x \in E_0}$ si chiama \emph{disintegrazione di $P$ secondo i possibili valori di $X$}.\\

Sia ora $Z \geq 0$ un'altra variabile aleatoria, numerica, su $\spp$:
\begin{align*}
 E[Z]=\int Z dP &= \sum_{x \in E} \int_{X=x}ZdP\\
&= \sum_{x \in E_0} \int_{X=x}ZdP\\
&= \sum_{x \in E_0} P\{X=x\}\int ZdP\\
&=\sum_{x \in E_0} \mu\{x\} E_x[Z]
\end{align*}

$E[Z]$ in generale può essere difficile da calcolare; vederla come una media ponderata può tornare utile.\\
Inoltre, dato $C \in \mc A$,
\[Z=I_C \RA P(C)=\sum_{x  \in E_0} \mu\{x\} Q_x(C)\]
ovvero $P$ risulta espressa come \emph{combinazione} (o \emph{mistura}) \emph{convessa ponderata} delle $Q_x$.\\

 Se $X$ assume solo 2 valori, la funzione di disintegrazione si dice \emph{dell'alternativa}.\\
\begin{smp}

Siano $X=[X_i]_{i \geq 1}$ un processo di Bernoulli di parametro $p$ e $N$ l'istante del primo successo di $X$; già sappiamo che $N$ ha legge geometrica di parametro e quindi $E[T]=\frac{1}{p}$, ma questo stesso risultato si può ora dimostrare in un altro modo sfruttando la disintegrazione rispetto a $X_1$:

\[\xymatrix{
Q_1=P(\cdot | \{X_1=1\}) & Q_0=P(\cdot | \{X_1=0\}) 
}\]

Per la formula dell'alternativa, quindi,
\[E[N]=pE_1[N]+qE_0[N]\]
Ora, secondo $Q_1$, la variabile $N$ è equivalente (e quindi isonoma) alla costante 1, quindi $E_1[N]=1$.\\
Siccome poi la legge di $N-1$ secondo $Q_0$ è identica alla legge di $N$ (dato che $\{X=0\}=\{N>1\}$), si ha che
\[E_0[N]=E_0[1 + (N-1)]=E_0[1]+E_0[N-1]=1 + E_0[N-1] =1+E[N]\]
Riunendo le informazioni che abbiamo otteniamo:
\begin{align*}
&E[N]=p+q(1+E[N])=p+q+qE[N]=1+qE[N]\\
&\stackrel{1}{\RA} E[N] (1-q)=1\\
&\RA E[N] p=1\\
&\RA E[N]=\frac{1}{p}
\end{align*}
In $\stackrel{1}{\RA}$ abbiamo però supposto che $E[N]< \infty$. Ridimostriamo anche questo.\\

\begin{oss}
Dato uno spazio $\spp$, sia $(X_i)_{i \geq 1}$ una successione di variabili aleatorie numeriche positive aventi tutte identica speranza. Sia inoltre $N$ una variabile aleatoria discreta a valori in $\mb N \cup \{\infty\}$.
Per ogni $n \in \mb N$, consideriamo
\[S_n \stackrel{def}{=} X_1 + \dots + X_n\;\;\;\;\;\;\;\;\;(S_0=0)\]
Possiamo definire per rincollamento $S_N$ che per ogni $n$ naturale coincida con $S_n$ su $\{N=n\}$.\\
\end{oss}
\begin{oss}{(Identità di Wald)}\\
Se poi $N$ è indipendente\footnote{In realtà è sufficiente supporre che $\forall k \geq 0$, $X_{k+1}$ sia indipendente da $I_{N>k}$.} da $[X_i]_{i \leq 1}$, allora
\[E[S_N]=E[N]E[X_1]\]
\end{oss}

\begin{proof}
\[S_N = \sum_{k \geq 0} X_{k+1} I_{\{k < N\}}\]
Quindi
\[E[S_N]=\sum_{k \geq 0} E[X_{k+1} I_{k < N}]\]
e per l'ipotesi di indipendenza questo equivale a
\[\sum_{k \geq 0} E[X_{k+1}]E[I_{k < N}]=E[X_1] \cdot \sum_{k \geq 0}P\{N > k \} =E[X_1]E[N]\]
\end{proof}

Tornando al nostro processo di Bernoulli:

\[\{N>k\}= \left (\bigcap_{i \leq k} \{X_i=0\} \right )\in \tau(X_1-X_k)\]
Sappiamo che $X_{k+1}$ è indipendente da $\prod_{i=1}^k(1-X_i)$ e di conseguenza da $I_{\{N > k\}}$.\\

La formula di disintegrazione di $S_N$:
\[S_N=X_1 + \dots + X_N = I_{\{N < \infty\}}\]
ci dà quindi:
\[p \cdot E[N]=E[S_N]=E\left[I_{\{N < \infty\}} \right]=P\{N < \infty\} \RA E[N]< \infty\]
Possiamo finalmente concludere che $E[N]=\frac{1}{p}$.
\end{smp}

\subsubsection{Densità rispetto alla misura di Borel-Lebesgue su $\mb R$}
Siano $C \in \mc B(\mb R)$ e $0<\lambda(c)< \infty$.\\
L'unica legge su $\mb R$ che sia concentrata su $C$ e la cui densità sia ivi costante è
\[\frac{1}{\lambda(C)} I_C \cdot \lambda\]
ovvero la \emph{ripartizione uniforme} sull'insieme $C$, che $\forall A \in \mc B(\mb R)$ vale
\[\mu(A)=\frac{\lambda(A \cap C)}{\lambda(A)}\]


\section{Leggi su $\mb R$}
\subsection{Legge esponenziale}
Fissato un $\lambda >0$, la funzione
\[x \mapsto \lambda e^{-\lambda x} \cdot I_{]0,+\infty[}(x)\]
 è una densità di probabilità. Infatti:
\[\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}dx=1\]
%***disegno
La legge su $\mb R$ che ammette come densità questa funzione si chiama \emph{legge esponenziale di parametro $\lambda$} e si denota con $\mc E(\lambda)$.

\begin{oss}
 \[X(P)\sim \mc E(\lambda) \RA P\{X>x\}=\int_x^\infty \lambda e^{-\lambda t} dt=e^{-\lambda x} \text{ purché }x \in \mb R^+\]
In altri termini, la funzione di ripartizione è $F(x)=1-e^{-\lambda x}$.
\end{oss}

Siccome $P\{X>0\}=1$,
\[E[X]=E[X^+] = \int_0^\infty G(y) dy =\int_0^\infty e^{- \lambda} dy=\frac{1}{\lambda}\]
\subsubsection{Assenza di memoria}
Fissato $x \in \mb R^+$, sia $H=\{X>x\}$. Allora:
\[(X-x)(P_H)=\mc E(\lambda)\]

Infatti:
\begin{align*} 
P_H\{X - x >y\} &=P_H\{X > x+y\}\\
&= \frac{P(H \cap \{X > x+y \})}{P(H)}\\
&=\frac{P\{X>x+y\}}{P\{X>x\}}\\
&=\frac{e^{-\lambda xy}}{e^{-\lambda x}}\\
&=e^{-\lambda y}
\end{align*}

\subsection{Convoluzione}
Consideriamo una $n$-upla $(\mu_i)_{1 \leq i \leq n}$ di leggi su $\mb R$.\\
Possiamo cosruire $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$ variabili reali su $\spp$ indipendenti di legge rispettivamente $\mu_1 \dots \mu_n$.\\
Data poi $S=X_1 + \dots + X_n$, $S(P)$ dipende solo dalla $n$-upla $(\mu_i)_{1 \leq i \leq n}$ (e non dal modo in cui abbiamo costruito $\spp$ e $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$).

\begin{proof}
 Sia $X=[X_i]_{1 \leq i \leq n}$. Allora:
\[X(P)=\bigotimes_{i=1}^n \mu_i \;\;\;\;\;\;\;\;\; S=\sigma\circ X\]
dove $\sigma : \mb R^n \ra \mb R$ è
\[(x_1 \dots x_n) \mapsto \sum_{i=1}^n x_i\]
Quindi
\[S(P)=(\sigma \circ X)(P)=\sigma(X(P))=\sigma\left(\bigotimes_{i=1}^n \mu_i\right)\]
\end{proof}

L'ultimo termine di questa eguaglianza, ovvero la legge di $S$, si chiama \emph{prodotto di convoluzione di $(\mu_i)_{1 \leq i \leq n}$} e si denota con $\mu_1 * \dots * \mu_n$ oppure \[\divideontimes_{i=1}^n \mu_i\].

\begin{teo}
 Siano $\mu, \nu$ due leggi su $\mb R$, con $\nu$ assolutamente continua rispetto alla misura di Borel-Lebesgue $\lambda$, e più precisamente $\nu=g \cdot \lambda$.\\
Allora $\mu * \nu \ll \lambda$ e più precisamente $\mu * \nu = h \cdot \lambda$ dove
\[h(z)=\int g(z-x) \mu(dx)\]
\end{teo}

\begin{proof}
 $h$ è reale, positiva, boreliana per il teorema di Fubini. Sia $\phi$ boreliana positiva su $\mb R$: allora ha senso scrivere $\int \phi d(\mu * \nu)$. Inoltre:
\begin{align*}
\int \phi d (\mu * \nu)&\stackrel{1}{=}\int \phi d(\sigma(\mu \otimes \nu))&=&\int_{\mb R^2}(\phi \circ \sigma) d (\mu \otimes \nu)\\
&= \int_{\mb R^2} \phi(x+y) d(\mu \otimes \nu)(x,y) &\stackrel{2}{=}& \int_\mb R \int_\mb R \phi(x+y)\nu(dy) \mu(dx)\\
&= \int_\erre \int_\erre g(y) \phi(x+y) dy\mu(dx)  &\stackrel{z=x+y}{=}& \int_\erre \int_\erre g(z-x) \phi(z) dz \mu(dx)\\
&\stackrel{3}{=} \interre \phi(z) \interre g(z-x) \mu(dx) dz  &=& \interre \phi(z) h(z) dz
\end{align*}
(in $\stackrel{1}{=}$ con $\sigma$ indichiamo al solito la funzione ``somma degli argomenti''; in $\stackrel{2}{=}$ e $\stackrel{3}{=}$ stiamo sfruttando il teorema di Fubini)

Sappiamo quindi che
\[\interre \phi d (\mu * \nu)=\interre \phi(z)h(z)dz\]
e per la genericità di $\phi$ concludiamo che $\mu*\nu=h \cdot \lambda$; infatti, dato un qualsiasi $A \in \mc B(\mb R)$,
\[\phi=I_A \RA (\mu*\nu)(A)=\int_A h(z) dz\].
\end{proof}

Consideriamo un caso particolare: quello in cui anche $\nu \ll \lambda$, e più precisamente $\mu=f \cdot \lambda$. Allora
\[f * g \dfn h(z)=\interre g(z-x) \mu(dx)=\interre g(z-x) f(x) dx\]

$f * g$ si dice \emph{prodotto di convoluzione} di $f,g$, e non a caso: la dimostrazione appena svolta mostra che $(f \cdot \lambda)*(g \cdot \lambda)=(f * g) \cdot \lambda$.\\

Un altro caso particolare degno di nota è quello in cui $f,g$ sono nulle al di fuori di $[0,\infty]$. Allora
\[h(z)=\begin{cases}
        \int_0^z f(x) g(z-x) dx &\text{ se }z>0\\
        0 &\text{ se }z \leq 0
       \end{cases}
\]

\subsection{Funzione $\Gamma$ di Eulero}
La funzione $\Gamma$ di Eulero è definita, per ogni $a>0$, come:
\[\Gamma(a) = \int_0^\pnfty e^{-t} t^{a-1} dt\]
Osserviamo che $\Gamma(a) < \pnfty\;\; \forall a$.\\

Si indica con $\Gamma(a,\lambda)$ (con $a>0, \lambda>0$) la legge di densità $\gamma(a,\lambda)$, dove:
\[\gamma(a,\lambda)(x)\dfn \begin{cases}
                            \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} e^{-\lambda x} x^{a-1} &\text{ se }x>0\\
                            0 &\text{ altrove }
                           \end{cases}
 \]

Verifichiamo che è effettivamente una legge di probabilità, ovvero che ha massa 1:
\[ \intrpos \lambda^a e^{-\lambda x}x^{a-1} dx = \intrpos e^{- \lambda x} (\lambda x)^{a-1} \lambda dx \stackrel{t=\lambda x}{=} \intrpos e^{-t} t^{a-1}dt = \Gamma(a)\]

\begin{oss}
 $\gamma(1,\lambda)=\lambda e ^{- \lambda x}\RA \Gamma(1, \lambda)=\mc E(\lambda)$\\
\end{oss}

\begin{teo}\label{Convoluzione di Gamma}
 $\Gamma(a, \lambda) * \Gamma(b, \lambda)=\Gamma(a+b, \lambda)$
\end{teo}
\begin{proof}
 \[\begin{matrix}
    \underbrace{\gamma(a, \lambda)}&*&\underbrace{\gamma(b, \lambda)}& = \gamma(a+b, \lambda)\\
f & & g &
   \end{matrix}
\]
Infatti, posto $c=\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\frac{\lambda^b}{\Gamma(b)}$,
\begin{align*}
 (f*g)(z)&=\int_0^z f(x)g(z-x) dx\\
&=c \int_0^z e^{- \lambda x} x^{a-1} e^{- \lambda(z-x)} (z-x)^{b-1} dx\\
&=c e^{- \lambda z} \int_0^z  x^{a-1} (z-x)^{b-1} dx\\
&\stackrel{u=\frac{x}{z}}{=} ce^{-\lambda z} \int_0^1 (zu)^{a-1}(z-zu)^{b-1} z du\\
&=c e^{-\lambda z}z^{a-1+b} \int_0^1 u^{a-1} (1-u)^{b-1} du\\
&= c B(a,b) \;\;\; \cdot \;\;\;e^{- \lambda z} z^{a+b-1}
\end{align*}
dove i termini
\[B(a,b)= \int_0^1 u^{a-1} (1-u)^{b-1} du\]
e
\[c=\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\frac{\lambda^b}{\Gamma(b)}\]
sono costanti in $z$, mentre $e^{- \lambda z} z^{a+b-1}$ è, modulo una costante, $\gamma(a+b, \lambda)$.\\
D'altronde, sappiamo già che la convoluzione di due densità di probabilità sarà una densità di probabilità, per cui la nostra costante è quella ``giusta''.

\end{proof}
Ovvero avremo:
\[cB(a,b) e^{- \lambda z} z^{a+b-1} = \frac{\lambda^{a+b}}{\Gamma(a+b)} e^{- \lambda z} z^{a+b-1}\]
\[\Downarrow\]
\[cB(a,b) = \frac{\lambda^{a+b}}{\Gamma(a+b)} \]
\[\Downarrow\]
\[\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\frac{\lambda^b}{\Gamma(b)} B(a,b) = \frac{\lambda^{a+b}}{\Gamma(a+b)} \]
\[\Downarrow\]
\[\Gamma(a+b)=\frac{1}{B(a,b)}\Gamma(a)\Gamma(b)\]


Osserviamo che possiamo calcolare facilmente $\Gamma(1)=1$ e $B(a,1)=\frac{1}{a}$. Di conseguenza:\\
\[\Gamma(a+1)=a\Gamma(a)\Gamma(1)=a\Gamma(a)\]

Questo ci permette di dimostrare per induzione che, per $n \in \mb N^*$ qualsiasi, $\Gamma(n)=(n-1)!$, ovvero $\Gamma$ è una \emph{interpolazione} del fattoriale\footnote{O meglio lo è $\Gamma(x-1)$}.\\
In particolare, dati $x>0, n \in \mb N^*$,
\[\gamma(n, \lambda)(x)=\lambda e^{- \lambda x} \frac{(\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}\]
Inoltre, il teorema \ref{Convoluzione di Gamma} ci consente di fare un'osservazione interessante:
\[\Gamma(n, \lambda)=\Gamma(1, \lambda) * \dots * \Gamma(1, \lambda) = \mc E(\lambda) * \dots * \mc E(\lambda) = \mc E(\lambda)^{*n}\]

\subsection{Processo di Poisson}
Sia $(X_n)_{n \geq 1}$ una successione di variabili aleatorie su $\spp$ reali e indipendenti, tutte di legge $\mc E (\lambda)$ (osserviamo che $X_i \geq 0$).\\

Poniamo $S_n=X_1 + \dots X_n$. Fissato $t \in \mb R^+$, sia
\[N_t\dfn \sum_{n \geq 1}I_{\{S_n \leq t\}}\]

Una possibile interpretazione di questa quantità è la seguente: supponiamo che ogni $X_i$ indichi la durata di vita di uno strumento\footnote{Decidere di modellizzare questa situazione con una variabile esponenziale, che non ha memoria, significa assumere che stiamo trattando strumenti che non subiscono l'usura.} e supponiamo che ogni volta che lo strumento $i$-esimo si guasta venga immediatamente sostituito con l'$i+1$-esimo:\\
%***disegno

Allora $N_t$, a valori in $\mb N \cup \{\pnfty\}$, è il numero totale di guasti in un lasso di tempo $[0, t]$. Cerchiamo di capirne la legge:
\[\{N_t=0\}=\{X_1 > t\} \RA P\{N_t=0\}=e^{- \lambda t}\]
\begin{align*} 
n \in \mb N^* &\RA \{N_t=n\}=\{S_n \leq t < S_{n+1}\}\\
&\RA P\{N_t=n\}=P\{S_n \leq t\}-P\{S_{n+1} \leq t\}
\end{align*}

Sappiamo che $S_n(P)$ è il prodotto di convoluzione di $n$ copie di $\mc E(\lambda)$, ovvero $\Gamma(n, \lambda)$. Quindi
\begin{align*} 
P\{Nt=n\}&=\int_0^t \left [\lambda e^{- \lambda x} \frac{(\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!} - \lambda e^{- \lambda x}\frac{(\lambda x)^n}{n!} \right ] dx\\
&\stackrel{1}{=}\left [e^{- \lambda x} \frac{(\lambda x)^n}{n!} \right ]_{x=0}^{x=t}\\
&=e^{- \lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!}
\end{align*}
\small{(in $\stackrel{1}{=}$ osserviamo che sotto il segno di integrale compare proprio la formula di una derivata)}.\\
Ovvero la legge essenziale di $N_t$ è di Poisson: $\mc P(\lambda t)$. Di conseguenza, come d'altronde è logico aspettarsi,
\[E[N_t]=\lambda t=\frac{t}{\frac{1}{\lambda}}=\frac{t}{E[X_1]}\]

$[N_t]_{t \in \mb R}$ si dice \emph{blocco di Poisson} associato a $(X_n)_{n \geq 1}$.

\subsubsection{Stazionarietà ed indipendenza degli incrementi}
Considerando sempre la stessa $S_N$ e dato $s \in \erre^+$,
%***disegno
\[N_{s, s+t} \dfn \sum_{n \geq 1} I_{\{s < S_n \leq t\}}\]

$[N_{s, s+t}]_{t \in \mb R^+}$ è lo \emph{sviluppo futuro del processo a partire da $s$}.\\
Si dimostra che $[N_{s, s+t}]_{t \in \mb R^+}$ e $[N_t]_{t \in \mb R^+}$ sono isonomi ed indipendenti; anzi, più in generale sono indipendenti $[N_{s, s+t}]_{t \in \mb R^+}$ e $[N_r]_{0 \leq r \leq s}$.

\subsubsection{Baricentro}
Se $n \in \mb N$, il baricentro di $\Gamma$ è:
\[n E[X]=n \frac{1}{\lambda} = \frac{n}{\lambda}\;\;\;\; \text{ dove }X \sim \mc E(\lambda)\]
Questo ci fa sospettare che nel caso generale $\Gamma(a, \lambda)$ abbia baricentro $\frac{a}{\lambda}$... ed in effetti è proprio così:
\begin{align*}
 \intrpos x d \Gamma(a, \lambda) &= \intrpos x \gamma(a, \lambda)(x)dx\\
&= \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} \intrpos x e^{- \lambda x} x^{a-1} dx\\
&= \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} \intrpos e^{- \lambda x} x^a dx\\
&= \frac{\lambda^a}{\Gamma(a)} \underbrace{ \left [ \frac{\lambda^{a+1}}{\Gamma(a+1)}  \intrpos e^{- \lambda x} x^a  dx\right ] }_{\genfrac{}{}{0cm}{1}{\text{\emph{Integrale di una densità}}}{\text{\emph{di probabilità}}} }\frac{\Gamma(a+1)}{\lambda^{a+1}}\\
&= \frac{a}{\lambda}
\end{align*}

C'è però un modo più furbo per ottenere lo stesso risultato: sia $g(a)$ il baricentro di $\Gamma(a, \lambda)$, con $g : \;]0, \pnfty[\; \ra \;]0, \pnfty[\;$. Siccome
\[\Gamma(a+b, \lambda)=\Gamma(a, \lambda)*\Gamma(b, \lambda)\]
\[E[X+Y]=E[X]+E[Y]\;\text{,}\]
ne consegue che $\forall a, b \in \mb R^+$,
\[g(a+b)=g(a)+g(b)\RA \exists c \in \mb R^+ : \;\; g(x) \equiv cx\]

\begin{oss}
 L'equazione $f(x+y)=f(x)+f(y)$ è detta \emph{di Cauchy}, ed una funzione che la rispetti si dice \emph{$\mb Q$-lineare}. Lo spazio di tali funzioni (che assume una \emph{base di Hamel}\footnote{Una base di Hamel è una base infinita da cui però si ottiene ogni elemento dello spazio come combinazione lineare di una quantità \emph{finita} di termini.}) contiene anche funzioni estremamente irregolari; nel nostro caso però è garantita la crescenza, per cui possiamo concludere che la funzione è boreliana e infine lineare.
\end{oss}

\subsection{Caratterizzazione delle leggi esponenziali}
È possibile caratterizzare le leggi esponenziali in base alle seguenti caratteristiche:
\begin{enumerate}
 \item hanno baricentro finito
 \item hanno assenza di memoria \emph{in media} (ovvero, modulo l'opportuno condizionamento, la speranza - non necessariamente la legge\footnote{Che nelle variabili esponenziali la legge (modulo l'opportuno condizionamento) resti invariata, lo sappiamo già; per caratterizzarle è però sufficiente quest'ipotesi più debole.} - resta invariata).
\end{enumerate}
Infatti:
\begin{teo}
 Su $\spp$, sia $X$ una variabile aleatoria reale integrabile tale che:
\begin{itemize}
 \item $P\{X>x\} \not = 0 \;\;\; \forall x \in \mb R$
 \item $P\{X>0\} = 1$
 \item $\forall x \in \mb R$, posto $Q_x=P( \cdot | \{X>x\})$ risulti
\[\int (X-x) d Q_x = \int X dP\]
\end{itemize}

Allora $X(P)$ è una legge esponenziale.
\end{teo}
\begin{proof}
Sappiamo che $P\{X>0\}=1 \RA \int X dP \not = 0$; sia $\lambda$ tale che
\[\int X dP = \frac{1}{\lambda}\]
Allora, per l'assenza di memoria,
\[\frac{1}{\lambda}=\intrpos Q_x \{X -x > y\}dy = \intrpos \frac{P\{X>x, \; X-x>y\}}{P\{X>x\}}dy\]
 Sia $G(y)=P\{X>y\}$; siccome $\{X>x, X>x+y\}=\{X>x\}$, l'eguaglianza appena vista si trasforma in:
\[\intrpos G(x+y) dy = \frac{1}{\lambda}G(x) \RA \intrpos G(z) dz = \frac{1}{\lambda}G(x)\]

Quindi $G$ è continua e derivabile, e $-G(x)=\frac{1}{\lambda}G'(x)$
\[\begin{cases}
   G'(x) = -\lambda G(x)\\
   G(0) = 1
  \end{cases}\RA G(x)=e^{- \lambda x}
\]
\end{proof}

\begin{oss}
 Si vede facilmente che le due condizioni date (baricentro finito ed assenza di memoria in media) sono entrambe conseguenze della sola condizione di avere assenza di memoria in legge, che quindi di per sé permette di caratterizzare le leggi esponenziali.
\end{oss}

\subsection{Vettori aleatori}
Un \emph{vettore aleatorio di $n$ componenti reali} è una variabile aleatoria a valori in $(\mb R^n, \mc B(\mb R^n))$, dove $\mc B(R^n)=\mc B(\mb R)^{\otimes n}$.\\
Dati $\spp$, $(\mb R^n, \mc B(\mb R^n))$ e $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$ variabili aleatorie reali, posta $X\dfn [X_i]_{1 \leq i \leq n}$, allora $\mu \dfn X(P)$ è una misura di probabilità su $(\mb R^n, \mc B(\mb R^n))$.\\
Se inoltre $\mu \ll \lambda^{\otimes n}$, sia $f$ una versione della densità di $\mu$ (ovvero tale che $\mu=f \cdot \lambda^{\otimes n}$).\\
$X_i(P)$ si dirà \emph{legge marginale di indice $i$} del vettore aleatorio $X$.\\
Se $X_i(P)=f_i \cdot \lambda$, $f_i$ si dirà \emph{densità marginale di indice $i$}.\\

Sorge spontaneo un dubbio: se $X$ ha densità, ha anche densità marginali?
\begin{teo}
 Sì.
\end{teo}
\begin{proof}
Se $[X,Y]$ ha densità $f$, $[X,Y](P)=f(\lambda \otimes \lambda)$.
\[P\{[X,Y] \in A\}= \int_A f(x,y) dx dy\]
La tesi discende quindi dal teorema di Fubini, ma la dimostriamo ora più generale: siano definite, su $\spp$, due misure $\sigma$-finite $\alpha, \beta$ a valori rispettivamente in $\spm, (F, \mc F)$, e supponiamo $[X,Y] (P)=f \cdot (\alpha \otimes \beta)$.\\
Allora $X(P)=\phi \cdot \alpha$ per una qualche $\phi$.\\
Infatti sia $A \in \mc E$. Allora:
\begin{align*}
 P\{X \in A\}=P\{[X,Y] \in A \times F\}=& \int_{A \times F}f d(\alpha \otimes \beta)\\
\stackrel{\text{Fubini}}{=}& \int_A \int_F f(x,y) \beta (dy) \alpha (dx)\text{.}\end{align*}

La funzione
\[x \mapsto \phi(x) = \int_F \beta (dy) f(x,y)\]
è una densità: $X(P)=\phi \cdot \alpha$. Lo stesso ragionamento si può fare ovviamente per $Y, \beta$.\\

Nel caso in cui il vettore aleatorio è a valori reali, semplicemente

\[\phi(x)=\interre f(x,y) dy\]
\end{proof}
A questo punto sorge naturale il dubbio inverso: se ogni componente di un vettore aleatorio ha densità, ce l'ha anche il vettore?

\begin{teo}
 No
\end{teo}
\begin{proof}
Sia $X$ una qualsiasi variabile aleatoria reale con $X(P)= f\cdot \lambda$. La misura del vettore aleatorio $[X,X](P)$ è concentrata sulla diagonale.\\
Ma la diagonale (come ogni grafico) è trascurabile, quindi tale misura non è assolutamente continua rispetto alla misura di Borel-Lebesgue, ovvero la densità congiunta non esiste.
\end{proof}

C'è di peggio: anche quando la densità congiunta esiste, non è determinata dalle densità marginali, e ne vediamo subito un esempio.\\

Sia $\mu$ la ripartizione uniforme su $[0,1]$ e sia $[X,Y](P)=\mu \otimes \mu$. Inoltre
\[C \dfn \left \{(x,y) \in [0,1]^2 \mid x - \frac{1}{2} \leq y \leq x  \right \}\cup \left \{(x,y) \in [0,1]^2 \mid y \geq x+\frac{1}{2} \right \}\]
%***disegno
$(\lambda \otimes \lambda )(C)=\frac{1}{2}$, mentre evidentemente $C$ avrà misura 1 secondo la ripartizione uniforme su $C$ stesso: le due densità sono quindi diverse.\\
Eppure esse hanno leggi marginali identiche: per entrambi gli indici, la legge marginale è la ripartizione uniforme su $[0,1]$.\\

Frechet fu il primo a studiare il problema di individuare, date due leggi, la classe di leggi di cui sono leggi marginali.

\subsection{Diffeomorfismi}
Dato $\spp$, siano $X$ un vettore aleatorio e $\phi$ un diffeomorfismo di $\rn$ su $\rn$. Allora $T\dfn \phi \circ X$ è un vettore aleatorio.

\[\xymatrix{
\rn \ar[r]^\phi & \rn\\
\Omega \ar[u]^X \ar[ur]_{T=\phi \circ X}
}\]

Supponiamo che $X(P)=\mu=f \cdot \lambda^{\otimes n}$. Viene il sospetto che
\[\exists \tilde f : T(P)=\tilde f \cdot \lambda^{\otimes n}\]
Infatti:
\begin{align*}
E[g\circ T]&=E[(g \circ \phi ) \circ X]=\int_\rn (g \circ \phi) d \mu\\
&=\int_\rn g(\phi(x))f(x)dx\stackrel{t=\phi(x)}{=} \int_\rn g(t) f(\phi^{-1}(t)) |J\phi^{-1}(t)| dt 
\end{align*}
dove con $J(\phi^{-1}(t))$ indichiamo lo jacobiano.\\
Se quindi definiamo $\tilde f(t)=f(\phi^{-1}(t) |J(\phi^{-1}(t))|)$,
\[E[g \circ T]=\int_\rn g(t) \tilde f(t)\]

In particolare, posta $g=I_A$ con $A \in \mc B(\rn)$, abbiamo la tesi:
\[E[I_A \circ T]=P\{T \in A\} = \int_A \tilde f(t) dt\]

\begin{smp}
Sia $n=1$ e consideriamo due variabili aleatorie reali $X$ e $T=aX+b$, con $a \not =0$ (ovvero $\phi(x)=ax+b$).\\
Se $f$ è la densità di $X(P)$, allora la densità di $T(P)$ è:
\[\tilde f(t)\dfn f \left( \frac{t-b}{a} \cdot \left |\frac{1}{a}\right |\right )\]
\end{smp}

\begin{oss}
 Il teorema appena enunciato sarebbe di per sé limitante, perché la condizione che $\phi$ sia un diffeomorfismo $:\rn \ra \rn$ è piuttosto restrittiva: si utilizzerà più spesso diffeomorfismi da $A$ in $B$ aperti di $\rn$.\\
\end{oss}

Più in generale, si può considerare una famiglia $(A_i)_{i \in I}$ di aperti non vuoti di $\rn$ a due a due disgiunti e tali che $\mu=X(P)$ sia concentrata su $\bigcup_{i \in I} A_i$ ed una funzione $\phi : \rn \ra \rn$ boreliana tale che la restrizione $\phi_i$ di $\phi$ ad $A_i$ sia sempre un diffeomorfismo di $A_i$ su $\phi_i(A_i)=B_i$.\\

%***disegno

\begin{proof}
 Siano date $f_i : \rn \ra [0, \pnfty]$; per ogni $i \in I$, consideriamo
\[\tilde f_i(t)=\begin{cases}
                 f_i(\phi^{-1}(t))|J\phi^{-1}(t)| &\text{se }t \in B_i\\
                 0 &\text{se }t \not \in B_i
                \end{cases}
\]
Sia $g>0$ boreliana su $\rn$. Allora
\begin{align*}
 E[g \circ T]=E[g \circ \phi \circ X] =& \int (g \circ \phi)d \mu\\
=&\int_\rn g(\phi(x))f_i(x)dx\\
=&\int_A g(\phi(x))f_i(x)dx\\
=&\sum_{i \in I} \int_{A_i} g(\phi_i(x))f_i(x)dx\\
\stackrel{t=\phi(x)}{=}& \sum_{i \in I} \int_{B_i} g(t) f_i(\phi_i^{-1}(t))|J\phi_i^{-1}(t)| dt\\
=&\sum_{i \in I} \int_\rn g(t) \tilde f_i(t) dt \\
=& \int_\rn g(t) \tilde f(t) dt \;\text{,}
\end{align*}
dove $\tilde f(t)=\sum_{i} \tilde f_i(t)$ e quindi $f$ è una versione della densità di $T(P)$.
\end{proof}

Il notevole vantaggio di questa generalizzazione è che i $B_i$ non sono necessariamente disgiunti.\\

\subsection{Legge Beta}
Abbiamo già visto la \emph{legge B} (``legge \emph{beta}'') ragionando sulla legge $\Gamma$. Essa è determinata da due parametri $a, b$ positivi ed assume come densità la funzione
\[\beta(a,b)(u)=\begin{cases}
                 \frac{1}{B(a,b)} u^{a-1} (1-u)^{b-1} &\text{ se }0 < u < 1\\
                 0 &\text{ altrimenti,}
                \end{cases}
\]
dove $B(a,b)$ è (necessariamente)
\[\int_0^1 u^{a-1} (1-u)^{b-1}\]


Siano $X,Y$ reali indipendenti di legge rispettivamente $\Gamma(a, \lambda), \Gamma(b, \lambda)$ (ovviamente $\{X>0\}=\{Y>0\}=\Omega$).\\
Definiamo le variabili aleatorie
\[T=X+Y\]
\[U=\frac{X}{X+Y}=\frac{X}{T}\]
si vede facilmente che, determinate $T,U$, sono univocamente determinate anche $X, Y$:
\[X=TU\]
\[Y=T(1-U)\]
Mentre però $[X,Y]$ è a valori in
\[A=]0, \pnfty[^2 \text{ ,}\]
$[T,U]$ è a valori in
\[B=\;]0, \pnfty[\;\times\;]0,1[\]
Prendiamo $\phi:A \ra B$ definita come
\[\phi(x,y)=\left(x+y, \frac{x}{x+y} \right)\]
(e avente come inversa $\phi^{-1}(t,u)=(tu, t(1-u))$):
\[J\phi^{-1}(t,u)=\begin{vmatrix}
                   u&t\\
                   1-u&-t\\
                  \end{vmatrix}=-t
\]
quindi $[T,U](P)$ ha come densità $\tilde f(t,u)\dfn f(\phi^{-1}(t,u))|-t|$.\\
Ma
\begin{align*}f(x,y)=&\gamma(a, \lambda)(x)\gamma(b, \lambda)(y)\\
=&cx^{a-1} e^{-\lambda x} x^{b-1} e^{-by}\\
=&ce^{-\lambda (x+y)} x^{a-1}y^{b-1}\\
\RA \forall(t,u)\in B \;\;\; \tilde f(t,u)=&ce^{-\lambda t} (tu)^{a-1} (t(1-u))^{b-1}t\\
=&ce^{- \lambda t} t^{a+b-1} u^{a-1} (1-u)^{b-1}\\
\RA \tilde f=&\gamma(a+b, \lambda) \otimes \beta(a,b)
\end{align*}
Quindi anche $[T,U]$ ha componenti indipendenti e
\[[T,U](P)= \Gamma(a+b, \lambda) \otimes B(a,b)\text{.}\]


\begin{smp}
 Su $\spp$ siano $(X_n)_{n\geq}$ variabili aleatorie reali indipendenti e di legge $\mc E(\lambda)$.\\
Sia $S_n=X_1+ \dots + X_n$ (al solito, possiamo interpretare $S_n$ come l'``$n$-esimo guasto'') e per $1\leq k <n$ consideriamo $\frac{S_k}{S_n} \in (0,1)$: vorremmo sapere che legge ha e se è dipendente da $S_n$.\\

$S_n=S_k+(X_{k+1} + \dots + X_n)=S_k+S_{k,n}$
\[S_k(P)=\Gamma(k, \lambda) \;\;\;\;\;\; S_{k,n}(P)=(X_{k+1} + \dots + X_n)(P)=\Gamma(n-k, \lambda)\]

Siccome
\[S_n=S_k+S_{k,n}, \;\;\; \frac{S_k}{S_n}=\frac{S_k}{(S_n-S_k)+S_k}\text{,}\]
per il risultato appena visto $S_n, \frac{S_k}{S_n}$ sono indipendenti e
\[E[S_k]=E[S_n]\cdot E\left [\frac{S_k}{S_n}\right] \RA \frac{k}{\lambda}=\frac{n}{\lambda}\cdot E\left [\frac{S_k}{S_n}\right] \RA E\left [\frac{S_k}{S_n}\right] =\frac{k}{n}\]
\end{smp}


\subsection{Leggi condizionali}
Siano $X,Y$ variabili aleatorie indipendenti definite su $\spp$ a valori in $\spm$, $(F, \mc F)$, di legge rispettivamente $\mu, \nu$ e sia $g:E \times F \ra [0, \pnfty]$ misurabile.\\
Allora sappiamo che
\[ [X,Y](P)=\mu \otimes \nu\]
\[ \RA E[g(X,Y)]= \int_{E \times F} g d(\mu \otimes \nu) \stackrel{\text{Fubini}}{=} \int_E \int_F g(x,y) \nu(dy)\mu(dx) \]


Ma se $X$ e $Y$ non sono indipendenti? Farebbe comodo trovare una famiglia $(\nu_x)_{x \in E}$ di leggi su $(F, \mc F)$ tale che
\[E[g(x,y)]=\int_E \int_F g(x,y)  \nu_x(dy)\mu(dx)\]

Se $(\nu_x)_{x \in E}$ esiste, si chiama \emph{versione della legge condizionale di $Y$ rispetto a $X$}.\\

In generale non è possibile trovare una versione della legge condizionale. Se ne esiste una e siamo su uno spazio avente una base numerabile, si dimostra però che è essenzialmente unica.\\

Il caso banale è ovviamente quello in cui $X$ e $Y$ sono indipendenti e quindi $\nu_x\equiv \nu$.

\begin{oss}
 Quando esiste $D \subset E$ tale che $\mu(D)=1$, si dice legge condizionale anche solo $(\nu_x)_{x \in D}$.
\end{oss}

\begin{smp}
 Un esempio già meno banale di esistenza della legge condizionale è quello di un generico spazio $\spm$ discreto.\\
Sia $E_0=\{x \in E \mid \mu\{x\}\not = 0\}$ e sia $Q_x$ la disintegrazione di $P$ secondo $X$.\\
Allora $(\nu_x)_{x \in E_0}$ definita come $\nu_x=Y(Q_x)$ è una versione della legge condizionale.
\begin{proof}
 \begin{align*}
E[g(X,Y)]&=\sum_{x \in E_0} \int_{X=x} g(X,Y)dP\\
&= \sum_{x \in E_0} \int_{X=x} g(x,Y)dP\\
&=\sum_{x \in E_0} P\{X=x\}\int g(x,Y)dP\\
&=\sum_{x \in E_0} \mu\{x\} \int g(x,y)dQ_x\\
&=\sum_{x \in E_0} \mu\{x\} \int g(x,y) \nu_x(dy)\\
&=\int_{E_0} \int g(x,y) \nu_x(dy) \mu(dx)
 \end{align*}

\end{proof}

\end{smp}

Tornando al caso generale, supponiamo che esista $(\nu_x)_{x \in D}$ versione della legge condizionale di $Y$ rispetto a $X$.\\
Sia $g(x,y)=I_A(x)I_B(y)=I_{A \times B}$ con $A \in \mc E,B \in \mc F$. Allora 
\begin{align*}
 P\{X \in A, Y \in B\}&= \int_D I_A(x) I_B(y) \nu_x(dy) \mu(dx)\\
&= \int_{D \cap A} \nu_x(b) \mu(dx)\\
\RA P\{Y \in B\}&= \int_D \nu_x(B) \mu(dx) = \nu(B)
\end{align*}
Se poi supponiamo che $\{Y \in B\}$ sia non trascurabile, scopriamo che
\[P(\{X \in A\}|\{Y \in B\}) =\frac{P\{X \in A, Y \in B\}}{P\{Y \in B\}}=\frac{\int_{D \cap A}\nu_x(B) \mu(dx)}{\int_D \nu_x(B) \mu(dx)}
\]
Questa uguaglianza prende il nome di \emph{formula di Bayes generalizzata}. Se $\nu_x=Y(Q_x)$, abbiamo la versione classica della formula di Bayes.

\subsubsection{Unicità}
Sia $\mc I$ un sistema di generatori numerabile per $\mc F$.
\\O.B.d.A.\footnote{\emph{Ohne Beschränkung der Allgemeinheit}, ovvero ``senza perdita di generalità''. Ma vuoi mettere dirlo in tedesco?! OK, non è facile da ricordare, ma già se ti ricordi la sigla fai un figurone, il resto lo inventi.} possiamo assumere che $\mc I$ sia una \emph{base} numerabile.\\
Supponiamo poi che $(\nu_x)_{x \in E}$ e $(\nu'_x)_{x \in E}$ siano due versioni della legge condizionata di $Y$ rispetto a $X$. Allora, fissato $B \in \mc F$ e per ogni $A \in \mc E$,
\[\int_A \nu_x(B) \mu(dx)=\int_A \nu'_x(B) \mu(dx)\text{ .}\]
Le misure $x\mapsto\nu_x(B)$ e $x \mapsto \nu'_x(B)$ di base $\mu$ sono quindi uguali (modulo $\mu$).\\
Di conseguenza $L_B\dfn \{ x \in E \mid \nu_x(B)=\nu'_x(B)\}$ sta in $\mc E$ e $\mu(L_B)=1$.\\
Posto
\[L=\bigcap _{B \in \mc I} L_B=\{x \in E \mid \nu_x = \nu'_x\}\text{ ,}\]
dalla numerabilità di $\mc I$ segue che $\mu(L)=1$.

\begin{smp}
 Un caso di esistenza della legge condizionale è quello di $F$ spazio topologico \emph{polacco}, ovvero tale che esista una metrica compatibile che lo renda completo, con $\mc F$ la sua tribù boreliana.
\end{smp}

\begin{oss}
 Una variabile aleatoria reale avrà quindi legge condizionale.
\end{oss}


\begin{teo}
 Siano $X,Y$ definite su $\spp$ a valori rispettivamente in $\spm, \spmd$ e $\mu=X(P)$.\\
Siano inoltre $\alpha, \beta$ misure $\sigma$-finite su $\mc E, \mc F$ tali che $[X,Y](P)=f \cdot (\alpha \otimes \beta)$.\\
Sia poi $f_1$ una versione della ``prima densità marginale'', ovvero $\mu=f_1\cdot \alpha$\footnote{Sappiamo che una versione della densità di $\mu$ rispetto ad $\alpha$ esiste: $x \mapsto \int_F f(x,y) \beta(dy)$}.\\
Poniamo infine:
\[D=\left \{x \in E \mid 0 < f_1(x) = \int_F f(x,y) \beta(dy) < \pnfty \right\}\]

Allora $D \in \mc E$ e $\mu(D)=1$. Inoltre, se per ogni $x \in D$ denotiamo con $\nu_x$ la legge su $\spmd$ avente come densità rispetto a $\beta$
\[y \mapsto \frac{f(x,y)}{f_1(x)}\]
allora la famiglia $(\nu_x)_{x \in D}$ è una versione della legge condizionale di $Y$ rispetto a $X$.
\end{teo}
\begin{proof}
 $D\in \mc E$ e $D^C=A \cup B \cup C$, dove:
\[A=\{x \in E \mid f_1(x)=0\}\]
\[B=\{x \in E \mid f_1(x)=\pnfty\}\]
\[C=\left \{x \in E \mid f_1(x)\not =\int_F f(x,y) \beta(dy)\right \}\]

$\mu(A)=\int_A f_1 dx=0$\\
$\alpha(B)=0 \RA \mu(B)=0$\\
$\alpha(C)=0$ perché è l'insieme su cui differiscono due versioni di una stessa densità.\\
Quindi $\mu(D^C)=0 \RA \mu(D)=1$.\\
Ora, data $g \geq 0$ qualsiasi che sia misurabile su $(E \times F, \mc E \otimes \mc F)$,
\[E[g(X,Y)]= \int_D \int_F g(x,y) \nu_x(dy) \mu(dx)\]
Possiamo però limitarci a calcolare $E[I_D(x) g(x,y)]$, dato che $P\{X \in D\}=\mu(D)=1$ e quindi $I_D(X)$ è quasi certamente 1:
\begin{align*}
E[I_D(x)g(x,y)]&= \int_{E \times F}I_D(x) g(x,y)  f(x,y) d(\alpha \otimes \beta)(x,y)\\
&= \int_D \int_F g(x,y) f(x,y) \beta(dy)\alpha(dx)\\
&= \int_D  \int_F g(x,y) \frac{f(x,y)}{f_1(x)} \beta(dy) f_1(x)\alpha(dx)\\
&= \int_D \int_F  g(x,y) \underbrace{\frac{f(x,y)}{f_1(x)}}_{\genfrac{}{}{0cm}{1}{\genfrac{}{}{0cm}{1}{\text{Versione della}}{\text{densità della }}}{\text{legge in }\nu_x}} \beta(dy) \mu(dx)\\
&=\int_D \int_F g(x,y) \nu_x(dy)\mu(dx)
\end{align*}
In molti casi in realtà questo calcolo si rivela non necessario.
\end{proof}

\subsubsection{Teorema sulla legge condizionale di una variabile aleatoria composta}
\begin{teo}
 Siano $X,Y$ variabili aleatorie su $\spp$ a valori in $\spm, \spmd$ e sia $\nlc_{x \in D}$ una versione della legge condizionale di $Y$ rispetto a $X$.\\
Allora, data una funzione misurabile $f : E \times F \ra G$ con $(G, \mc G)$ spazio misurabile, esiste una versione della legge condizionale di $Z=f(X,Y)$ rispetto ad $X$.
\end{teo}
\begin{proof}
$\forall x \in D$, chiamiamo $\pi_x$ la legge immagine di $\nu_x$ mediante l'applicazione $y \mapsto f(x,y)$.\\
Allora $(\pi_x)_{x \in D}$ è una versione della legge condizionale.\\
Infatti, data $g: E \times G \ra [0, \pnfty]$ misurabile,
\begin{align*}
E[g(X,Z)]&=E[g(X,f(X,Y))]\\
&=\int_D \int_F g(x,f(x,y))\nu_x(dy)\mu(dx)\\
&=\int_D \int_G g(x,z) \pi_x(dz) \mu(dx) \text{ ,}
\end{align*}
dove l'ultima uguaglianza è giustificata dal teorema sull'integrazione rispetto ad una misura immagine.
\end{proof}
\begin{smp}
Su $\spp$, sia $(X_n)_{n \in \mc N}$ una successione di variabili aleatorie reali, indipendenti, di legge $\mc E(\lambda)$; sia inoltre $S_n = X_1 + \dots + X_n$. Sia inoltre $N$ una variabile aleatoria avente legge geometrica di parametro $p$ e supponiamo che $\forall n \in \mb N^*, I_{N=n}$ sia indipendente da $S_n$.\\
Definiamo $S_N$ per rincollamento come $S_N =S_n$ su $\{N=n\}$.\\
Qual'è una versione della legge condizionale di $S_N$ rispetto a $N$? Prendiamo $(Q_n){n \in \mb N^*}$, la disintegrazione di $P$ secondo $N$.\\
$\forall n \in \mb N$, sia quindi $\nu_n= (S_N)(Q_n)$. Questa è l'unica versione della legge condizionale di $S_N$ rispetto ad $N$.\\

Osserviamo che $\nu_n = (S_N)(Q_n)=(S_n)(Q_n)$ (perché $S_n$ e $S_N$ sono isonome secondo $Q_n$) e $(S_n)(Q_n)=S_n(P)$, (perché $I_{\{N=n\}}$ è indipendente da $S_n$), quindi $\nu_n \sim \Gamma(n, \lambda)$ e ha densità (su $x>0$):
\[\frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}\]

Quale sarà la legge di $S_N$? Sappiamo che $S_N(P)$ è la mistura delle varie leggi $\Gamma(n, \lambda)$ ottenuta pesanto gli indici secondo la legge di $N$ e cioé:
\begin{align*}
P\{S_n \in B\}&=\sum_{n \geq 1 }P\{N=n\}P\{S_n \in B\}\\
&=\sum_{n \geq 1}P\{N=n\}\int_B \lambda e^{-\lambda x} \frac{(\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}dx\\
&=\int_B \sum_{n \geq 1} pq^{n-1} \lambda e^{-\lambda x}\frac{(\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}dx
\end{align*}
La densità è quindi:
\begin{align*}
f(x)&=\sum_{n \geq 1} pq^{n-1} \lambda e^{-\lambda x}\frac{(\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}\\
&=p\lambda e^{-\lambda x}\sum_{n \geq 1} \frac{(q\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}\\
&=p\lambda e^{- \lambda x}e^{q\lambda x}\\
&=p\lambda e^{-p\lambda x} 
\end{align*}
Ovvero abbiamo ancora una legge esponenziale, con esponente più basso.
\end{smp}

\begin{smp}
 Vediamo un esempio un po' meno banale: $\spp$, $X,Y$ indipendenti di leggi rispettivamente $\Gamma(a, \lambda), \Gamma(b, \lambda)$.\\
Cerchiamo una versione della legge condizionale di $X$ rispetto a $X+Y$.\\
$[X, X+Y](P)$ ammette densità, in quanto trasformazione lineare di $[X,Y]$, che l'ammette.\\
Siano $T=X+Y, U=\frac{X}{X+Y}$ (O.B.d.A. supponiamo che $X,Y$ assumano entrambe valori in $(0,\pnfty)$). Sappiamo già che $T,U$ sono indipendenti e che $U(P)\sim Beta(a,b)$, con densità
\[\beta(a,b)(u)=\begin{cases}
                 \frac{1}{B(a,b)} u^{a-1} (1-u)^{b-1} &\text{ se }0 < u < 1\\
                 0 &\text{ altrimenti}
                \end{cases}
\]
Abbiamo ``in omaggio'' una legge condizionale di $U$ rispetto a $T$: la famiglia costante i cui termini sono $B(a,b)$.\\
$Z=TU=f(T,U)\RA$ una versione della legge condizionale di $TU$ rispetto a $T$ è la famiglia $(\pi_t)_{t>0}$ dove $\pi_t$ è l'immagine di $B(a,b)$ mediante la moltiplicazione per $t$, ovvero $\pi_t$ è la legge di $tU$: applichiamo semplicemente un'omotetia. $tU$ ha legge
\[u\ra \frac{1}{t}g\left(\frac{u}{t}\right)\]
$(\pi_t)_{t >0}$ è una versione della legge condizionale di $X$ rispetto a $X+Y$.
\end{smp}

\section{Varianza}
Dato $\spp$, abbiamo già definito $\mc L^1(P)$; similmente, introduciamo:
\[\mc L^2(P)\stackrel{def}{=}\left \{X \mid X \text{ è una variabile aleatoria su }\spm \text{ e } \int X^2dP < \pnfty\right \}\]
$\mc L^2(P)\subset \mc L^1(P)$ è uno spazio vettoriale, ha la struttura di uno spazio di Hilbert ed il suo prodotto scalare è
\[(X,Y) \ra \int XY dP\]\\

Diciamo $X \in \mc L^1(P)$ \emph{centrata} se $E[X]=0$ (ovvero $E[X^+]=E[X^-]$).
\begin{oss}
 $E[X]=a \RA X-a$ è centrata (è la \emph{variabile aleatoria centrata associata ad $X$}).
\end{oss}
Data poi $X \in \mc L^2(P)$ con $E[X]=a$, definiamo \emph{varianza} di $X$:
\[E[(X-a)^2] = E[X^2]-a^2 = || X-a ||_{L^2}^2\]
\begin{oss}
 $Var[X]=0 \iff X \sim a (\mod P)$ ($X$ è degenere)
\end{oss}
\begin{oss}
 \[Var[X]=Var[X+c]\]
\[Var[cX]=c^2Var[X]\]
\end{oss}
Definiamo inoltre \emph{scarto quadratico medio} di $X$
\[\sigma[X]=\sqrt{Var[X]}=||X-a||_{L^2}\]
\begin{oss}
 $\sigma[cX]=c \sigma[X]$
\end{oss}
\begin{oss}La variabile aleatoria
 \[\frac{X-E[X]}{\sigma[X]}\]
si dice centrata e \emph{ridotta} perché ha varianza 1.
\end{oss}

\subsection{Diseguaglianza di Markov}
Sia $X$ una variabile aleatoria numerica. Si vede facilmente che \[I_{\{|X|>\epsilon\}} \leq \frac{1}{\epsilon}|X|\]
Calcolando il valore atteso di entrambi i termini, si ottiene la \emph{diseguaglianza di Markov}:
\[P\{|X|> \epsilon\}\leq\frac{1}{\epsilon} E[|X|]\]
\[\epsilon P\{|X|> \epsilon\}\leq E[|X|]\]\\
%***disegno, didascalia
Posta $\mu=X(P)$, questa diseguaglianza ci dice che
\[\int I_{|X| > \epsilon} d\mu(x) \leq \int x d \mu(x) \text{ ;}\]
è una maggiorazione molto grossolana, ma talvolta può tornare utile.\\

\subsubsection{Diseguaglianza di Cebicev}
Osserviamo un caso particolare: $X \in \LdP, a =E[X]$.\\
Allora
\[P\{(X-a)^2>\epsilon^2\}\leq \frac{1}{\epsilon^2} E[(X-a)^2]\]
\[P\{|X-a|>\epsilon\}\leq \frac{1}{\epsilon^2} Var[X]\]
\subsection{Covarianza}
Date $X,Y \in \LdP$, si definisce \emph{covarianza} di $X,Y$:
\[Cov(X,Y)=E[(X-a)(Y-b)]=E[XY]-ab\]
dove $a=E[X], b=E[Y]$.
\begin{oss}
 $X,Y$ indipendenti $\RA Cov(X,Y)=0$
\end{oss}
Se $Cov(X,Y)=0$, le due variabili si dicono \emph{non correlate}.\\
\begin{oss}
 $Var[X]=Cov(X,X)$.
\end{oss}
Si dice \emph{coefficiente di correlazione}
\[p(X,Y)\dfn \frac{Cov(X,Y)}{\sigma[X] \sigma[Y]}\]\\

La non correlazione \emph{non implica} l'indipendenza: sia $X \in \mc L^2$ non negativa, non degenere e sia $U$ una variabile aleatoria indipendente da $X$ e avente come legge la distribuzione uniforme su $\{-1,1\}$.\\
$Y\dfn UX$ non è indipendente da $X$, perché altrimenti avremmo $|Y|=X$ indipendente da sé stessa, ovvero degenere.\\

Eppure
\[E[Y]=E[U]E[X]=0\cdot E[X]=0\]
\[E[XY]=E[UX^2]=E[U]E[X^2]=0\]
\[\RA E[XY]=0=E[X]E[Y]\]
ovvero $X,Y$ sono non correlate. Osserviamo tra l'altro che
\[Var[X+Y]=Cov(X+Y,X+Y)=Var[X]+Var[Y]+2Cov(X,Y)\]
e quindi, quando $X,Y$ sono non correlate,
\[Cov(X,Y)=0 \RA Var[X+Y]= Var[X]+Var[Y]\]


\subsection{Varianza di un vettore aleatorio}
Se in un vettore aleatorio $[X_i]_{i \leq n}$ vale $\forall i,j<n \;\;\; Cov(X_i,X_j)=0$, allora
\[Var[X_1 + \dots X_n]=\sum_{i \leq n} Var[X_i]\]
\begin{oss}
 In generale, la varianza dipende solo dalla legge $\mu$ di una variabile aleatoria $X$.
\end{oss}

\subsection{Varianza di variabili aleatorie note}
\begin{itemize}
 \item Bernouilli di parametro $p$:
\[X^2=X \RA E[X^2]=E[X]=p\RA Var[X]=E[X^2]-E[X]^2=p-p^2=p(1-p)\]
\item Binomiale di parametri $n,p$:
\[S_n=\sum_{i=1}^h X_i \RA Var[S_n] = \sum_i Var[X_i]=np(1-p)\]
\item Poisson di parametro $\lambda$:
\begin{align*}
E[X^2]=& \sum_{k \in \enne} k^2 e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\\
=&\sum_{k \in \enne^*} k^2 e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\\
=&\sum_{k \in \enne^*} k e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{(k-1)!}\\
=&\lambda \left(\sum_{k \in \enne^*} (k-1) e^{-\lambda} \frac{\lambda^(k-1)}{(k-1)!} + \sum_{k \in \enne^*}e^{-\lambda } \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\right)\\
=&\lambda \left(\sum_{k \in \enne} (k) e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} + \sum_{k \in \enne}e^{-\lambda } \frac{\lambda^{k}}{k!}\right)\\
=&\lambda(E[X] + P\{X \in \enne\})\\
=&\lambda(\lambda +1)\\
\RA Var[X]=&E[X^2]-E[X]^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda
\end{align*}
\item Esponenziale di parametro $\lambda$:
\begin{align*}
X(P)\sim\mc E(\lambda)\RA E[X^2]=&\lambda \intrpos x^2 \eMlx dx\\
=& \lambda \cdot \frac{\Gamma(3)}{\lambda^3}\\
=&\frac{\Gamma(3)}{\lambda^2}=\frac{2!}{\lambda^2}=\frac{2}{\lambda^2}\\
\RA Var[X]=&E[X^2]-E[X]^2=\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda^2}
\end{align*}
\item $\Gamma$ di parametri $n \in \mb N,\lambda$:
\begin{align*}
&X(P) \sim \Gamma(n,\lambda) = \mc E(\lambda)^{*n}\\
\RA& Var[X]=n\cdot Var[X_i] \text{ con }X_i(P)\sim\mc E(\lambda)\\
\RA& Var[X]=\frac{n}{\lambda^2}
\end{align*}

Se poi $a \not \in \enne$, sia $g(a)$ la varianza di $\Gamma(a,\lambda)$.\\
\[\Gamma(a+b, \lambda)=\Gamma(a,\lambda)*\Gamma(b, \lambda) \RA g(a+b)=g(a)+g(b)\]
Quindi $g$ è lineare.
\end{itemize}

\section{Trasformata di Fourier}
Sia $\spM$ uno spazio misurato e sia $f:E\RA \ci$ con
\[f=u+iv\text{,}\]
\[u=\mc Re(f)\;\;\;,\;\;\; v=\mc Im(f)\]
$f$ si dirà misurabile (integrabile) se tali sono $u,v$.
\[\int f d\mu \dfn \int u d\mu + i \int v d\mu\RA \overline{\int f d\mu}=\int \overline f d\mu\]

$\mc L_\ci^1(P)$ è uno spazio vettoriale complesso e $f \mapsto \int f d\mu$ è $\ci$-lineare.\\
Si estende al caso complesso anche la diseguaglianza
\[\left | \int f d \mu\right | \leq \int |f| d \mu\]
Infatti sia $\rho=\left | \int f d\mu\right|$; esisterà un $\theta \in \erre$ per cui
\[\int f d\mu=\rho e^{i \theta}\]
Quindi:
\begin{align*}
 0 \leq \rho &= e^{-i \theta} \int f d\mu\\
&= \int (e^{-i \theta}f)d\mu\\
&=\mc Re\left(\int(e^{-i\theta}f)d\mu\right)\\
&=\int \mc Re(e^{-i \theta} f)d\mu\\
&\leq \int|e^{-i \theta} f|d\mu=\int|f|d\mu
\end{align*}

Dato uno spazio probabilizzato $\spp$, una funzione $Z:\Omega \in \ci$ si dirà variabile aleatoria complessa se parte reale e parte immaginaria sono misurabili; inoltre, se sono integrabili,

\[E[Z]\dfn \int Z d\mu\]

Sia $\mu$ una legge su $\erre$ ed $X$ una variabile aleatoria reale su $\spp$ con $X(P)=\mu$.\\
Allora $\forall t \in \mb R$ possiamo definire
\begin{align*}
\phi(t)&=\interre e^{itx}\mu(dx)\\
&=\int cos(tx)\mu(dx) + i \interre sen(tx)\mu(dx)\\
&=E[cos(tX)]+iE[sen(tX)]\\
&=E[e^{itX}]
\end{align*}
La funzione $\phi$ va da $\erre$ in $D^1$, dato che
\[|\phi(t)|\leq \int |e^{itx} | \mu(dx) = \mu(\erre)=1\]

$\phi$ si dice \emph{funzione caratteristica} o \emph{trasformata di Fourier} di $\mu$ e si denota con $\phi_\mu$ o $\phi_X$.\\
Si dimostra che l'applicazione $\mu \mapsto \phi_\mu$ è iniettiva: la trasformata di una legge \emph{individua} la legge stessa.

\subsection{Proprietà elementari}
\begin{enumerate}
 \item $|\phi(t)| \leq 1$
\item $\phi(0)=1$
\item $\phi$ è continua
Infatti se $t_n \ra t$, allora $e^{itnx} \ra e^{itx}$. Siccome poi queste sono funzioni complesse equilimitate, per il teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata (esteso alle funzioni complesse) abbiamo che $\forall t$:	
\[\int e^{itn}\mu(dx) \ra \int e^{itnx} \mu(dx) \RA \phi(t_n) \ra \phi(t)\]
\item $\phi(-t)=\overline{\phi(t)}$\\
Infatti
\[\phi(-t)=\int e^{-itx} \mu(dx)=\overline{\int e^{itx}\mu(dx)}=\overline{\phi(t)}\text{ .}\]
\item $\phi_{cX}(t)=\phi_X(ct) \;\;\; \forall c \in \erre$\\
Semplicemente perché
\[\phi_{cX}(t)=E[e^{itcX}]=E[e^{it(cX)}]=\phi_X(ct)\]
In particolare,
\[\phi_{-X}(t)=\phi_X(-t)=\overline{\phi_X(t)}\]
e quindi 
\[\phi_X=\phi_{-X}\iff X(P)=(-X)(P)\]
ovvero $\phi_x$ è reale se e solo se $X(P)$ è simmetrica.
\item $E[|X|]< \pnfty \RA \phi$ è derivabile e
\[\phi'(t)= i \interre e^{itx}x \mu(dx)\]
Infatti, dato $t$ ed una successione $(t_n)_{n \in \enne}$ tendente a $t$, sia $f_x=e^{itx}$; allora
\[f'_x(t) = i xe^{itx} \RA|f'_x(t)|=|x| \RA \left | \frac{f_x(t_n)- f_x(t)}{t_n-t} \right |\leq |x|\]
Quindi, per il teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata,
\[\frac{\phi(t_n)-\phi(t)}{t_n-t}= \interre \frac{f_x(t_n)- f_x(t)}{t_n-t}  \mu (dx) \ra \interre ixe^{itx}\mu(dx)\]\\

In particolare,
\[\phi'(0)=i \interre x\mu(dx)\]

Se poi $X \in \lambda^2$ e $\int x^2 \mu(dx)<\pnfty$,
\[\phi''(t)=\interre (ix)^2e^{itx} \mu(dx) = - \interre x^2 e^{itx} \mu(dx)\]
In particolare, 
\[\phi''(0)=- \interre x^2\mu(dx)\]

\item Se $X,Y$ sono variabili aleatorie indipendenti,
\[\phi_{X+Y}(t)=E[e^{it(x+y)}]=E[e^{itX} e^{itY}]=E[e^{itX}]E[e^{itY}]=\phi_X(t)\phi_Y(t)\]
ovvero, date due misure $\mu, \nu$,
\[\phi_\mu \phi_\nu=\phi_{\mu*\nu}\]
\end{enumerate}

\subsection{Legge normale}
Si dice \emph{legge normale standard}\footnote{``La regina delle leggi'', \emph{Letta dixit}.} la legge che ha come densità:
\[f(x)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{1}{2}x^2}\]
Essa ha momento finito di ogni ordine (ovvero $E[|X|^n] < \pnfty$ per ogni $n \in \enne$). Si vede facilmente che:
\[E[X]=0\]
\[Var[X]=E[X^2]=1\]
La sua funzione caratteristica è:
\[\phi(t)=\interre e^{itx} \usdp e^{-\frac{1}{2} x^2} dx\]
Integrando per parti, otteniamo
\[\begin{cases}
   \phi'(t)=-t\phi(t)\\
   \phi(0)=1\\
  \end{cases}\RA \phi(t)=e^{-\frac{1}{2}t^2}
\]

Nicolò Pintacuda chiama \emph{ancipite} una densità che sia funzione caratteristica di qualche legge: nel nostro caso, la densità è addirittura ancipite di sé stessa (modulo una costante).

\begin{oss}
La funzione caratteristica della legge di Dirac $D_c$ è $\phi(t)=e^{itc}$.
\end{oss}

Per ogni coppia di numeri $(m, \sigma)\in \erre \times \erre^+$, denotiamo con $\mc N(m, \sigma^2)$ la legge di
\[Y=\sigma X+m\]
dove $X(P)$ è la legge normale standard.\\
\[E[Y]=\sigma E[X]+m=m\]
\[Var[Y]=\sigma^2 Var[X]+Var[m]=\sigma^2+0=\sigma^2\]
Ovviamente la notazione vale anche per la legge normale standard stessa, che annoteremo come $\mc N(0,1)$.\\

La funzione caratteristica è:
\[\phi_Y(t)=\phi_{\sigma X +m}(t)=\phi_{\sigma X}(t)\phi_m(t)=\phi_X(\sigma t)e^{imt}=e^{-\frac{1}{2}(\sigma t)^2}e^{imt}\]

In particolare, se ne deduce che l'insieme
\[\{\mc N(m,\sigma)\}_{(m,\sigma) \in \erre \times \erre^+}\]
è stabile per convoluzione, dato che
\[\mc N(m_1, \sigma_1^2) * \mc N(m_2, \sigma_2^2)=\mc(m, \sigma^2)\]
dove $m=m_1+m_2$ e $\sigma^2=\sigma_1^2+ \sigma_2^2$.

\section{Pseudo-inversa di una funzione di ripartizione}
Sappiamo che, data una legge $\mu$ su $\erre$, la sua funzione di ripartizione $F$ sarà crescente, continua a destra e tale che $F(- \infty)=0, F(\pnfty)=1$.\\
Vale anche un risultato inverso:
\begin{prp}
 Sia $F:\erre \ra [0,1]$ una funzione crescente, continua a destra e tale che $F(- \infty)=0, F(\pnfty)=1$.\\
Allora esiste una legge su $\erre$ di cui $F$ è la funzione di ripartizione.
\end{prp}
\begin{proof}
Dato $0<u<1$, l'insieme $\{F \geq u\}$ è un intervallo superiormente illimitato, con minimo\footnote{È l'ipotesi di continuità a destra a garantirci che l'estremo inferiore è un minimo.}. Possiamo così scrivere
\[F^{-1}(u) \dfn \min(\{F \geq u\})\text{ ;}\]
$F^{-1}$ non è una vera funzione inversa, la chiameremo \emph{pseudo-inversa} (o \emph{inversa generalizzata}) ed è una funzione da $]0,1[$ in $\erre$. Né $F \circ F^{-1}$, né $F^{-1}\circ F$ in generale sono l'identità.
\begin{oss}
 Se $F$ è invertibile, la sua pseudo-inversa (ristretta all'immagine di $F$) coincide con l'inversa.
\end{oss}
Dati $u \in ]0,1[$ e $x \in \erre$,
\[u \leq F(x) \iff x \in [F^{-1}(u), \pnfty[\;\iff F^{-1}(u) \leq x\]
$F^{-1}$ è crescente\footnote{\begin{align*}v < u \RA &\forall (x,y) \in \{F(x)=u, F(y)=v\} \;\;\; x < y\\ \RA& F^{-1}(u)=\min\{x | F(x)=u\} \leq \min\{y | F(y)=v\}=F^{-1}(v)\end{align*}} e quindi boreliana; di conseguenza è una variable aleatoria su $(]0,1[\;,\mc B(]0,1[),P)$, dove $P$ è la misura di Borel-Lebesgue ristretta a $\mc B(]0,1[)$.\\

La legge di $F^{-1}$ ha come funzione di ripartizione proprio $F$:
\begin{align*}
P\{F^{-1}\leq x\}&=P\{u \in ]0,1[ \; \mid F^{-1}(u) \leq x\}\\
&=P\{u \in ]0,1[\; \mid u \leq F(x)\}\\
&=P(]0,1[\;\cap [0,F(x)])\\
&=F(x)
\end{align*}
\end{proof}

Sia $g$ una funzione integrabile (o semintegrabile) rispetto a $\mu$, la legge di $F^{-1}$. Allora:
\[\int f d \mu = \int (g \circ F^{-1})dP = \int_{]0,1[}g(F^{-1}(u))du \]

\begin{oss}
$x < F^{-1}(u)<y \RA F(x) <u \leq F(y)$\\
%***disegno
Possiamo sostituire il $\leq$ con $<$ solo se $F^{-1}$ è continua (ovvero $F$ è strettamente crescente).\\
È noto che i punti di discontinuità di una funzione monotona sono al più numerabili.
\end{oss}

\begin{teo}[Teorema di Scheffé]
Su uno spazio misurato $\spM$, sia data una misura $\lambda$ ed una successione $f_n$. Supponiamo che
\[f_n(x)\stackrel{n \ra \pnfty}{\longrightarrow }f(x)\]
per $\lambda$-quasi ogni $x$.\\ Allora $f_n \ra f$ in $\mc L^1(\lambda)$, ossia
\[\int |f_n - f| d\lambda \ra 0\]
\end{teo}

\begin{proof}
 Dati $a,b \in \erre,\frac{|a-b|}{2}=\frac{1}{2}(a+b)-(a \land b)$. Quindi:
\[\mezzo |f_n - f|=\mezzo (f_n + f)-(f_n \land f)\]
\[\RA \mezzo \int |f_n - f|d\lambda = \mezzo \int (f_n + f)d\lambda - \int (f_n \land f)d\lambda\]

Ma $\mezzo \int (f_n + f)d\lambda = \mezzo + \mezzo = 1$. Dato poi che $0\leq f_n \land f\leq f \in \mc L^1(x)$, possiamo applicare il teorema di convergenza dominata:
\[f_n \land f \ra f \land f = f \RA \int (f_n \land f)d\lambda \ra \int f d \lambda=1\]
\[\RA \mezzo \int |f_n - f|d\lambda \ra 1-1 = 0\]
\end{proof}

Sia $g$ una funzione limitata e misurabile su $\spm$. Allora $\int g d \mu_n \ra \int g d \mu$. Infatti, posto $c \geq g(x)$:
\[\left |\int g d \mu_n - \int g d \mu\right |=\left |\int g (f_n -f)d \lambda\right | \leq \int|g(f_n-f)|d \lambda \leq c \int |f_n - f|d \lambda \ra 0\]
In particolare, se $g=I_A$ con $A \in \mc E$, ne deduciamo $\mu_n(A) \ra \mu(A)$:
\[|\mu_n(A)-\mu(A)|\leq \int |f_n - f|d \lambda \ra 0\]

\subsection{Convergenza debole}
Siano $\mu$ una legge e $(\mu_n)_{n \geq 1}$ una successione di leggi tutte su $\erre$: si dice che $(\mu_n)$ \emph{converge debolmente} verso $\mu$ se, per ogni $g$ funzione limitata, boreliana su $\erre$ e tale che l'insieme dei suoi punti di discontinuità sia trascurabile secondo $\mu$,
\[\int g d\mu_n \ra \int g d \mu\]
\begin{oss}
 L'insieme dei punti di discontinuità è \emph{sempre} boreliano.
\end{oss}

\begin{oss}
 Se $\mu_n \ra \mu$ debolmente, non necessariamente
\[\mu_n(A) \ra \mu(A)\]
perché questo sia vero, è necessario aggiungere l'ipotesi che $\mu(\delta A)=0$, ovvero che l'insieme dei punti di discontinuità di $I_A$ sia trascurabile.
\end{oss}

Dato un spazio probabilizzato $\spp$, sia $(X_n)_{n \geq 1}$ una successione di variabili aleatorie reali, $X$ un'ulteriore variabile aleatoria reale; siano quindi $\mu_n \stackrel{def}{=}X_n(P)$, $\mu\dfn X(P)$.\\
Diciamo\footnote{Terminologia introdotto da Maurice René Fréchet.} che $(X_n)_{n \geq 1}$ \emph{converge in legge} verso $X$ se $(\mu_n)_{n \geq 1}$ converge debolmente verso $\mu$.

\begin{oss}
 \[\xymatrix{
\int g d \mu_n \ar[r] \ar@{}[d]^{||} & \int g d\mu \ar@{}[d]^{||}\\
E[g \circ X_n] \ar[r] & E[g \circ X]
}\]
ovvero se le $X_i$ convergono in legge, la speranza di $g \circ X_n$ (dove $g$ è una qualsiasi funzione $\mu$-quasi ovunque continua) converge a $E[g \circ X]$.
\end{oss}
\begin{prp}\label{quasi certamente implica legge}Se $X_n \ra X$ quasi certamente, ovvero\footnote{$\{\omega \mid X_n(\omega) \ra X(\omega)\}$ è un evento perché è uguale a $\{\limsup_n |X_n - X | =0\}$}
\[P(\{\omega \mid X_n(\omega) \ra X(\omega)\})=1\text{,}\]
allora $X_n$ converge a $X$ in legge.
\end{prp}

\begin{proof}
 Siano $H=\{\limsup_n |X_n-X|=0\}$ (quasi certo per ipotesi) e, data $g$ funzione $\mu$-quasi continua, sia $K=\{X \in C\}$, con $C$ l'insieme dei suoi punti di continuità.\\
\[\mu(C)=1 =P\{X \in C\}=P(K) \RA P(H \cap K)=1\]
Dato $\omega \in H \cap K$,
\[X(\omega)=\lim_n X_n(\omega)\]
e $g$ è continua in $X(\omega)$, quindi
\[g(X(\omega))=\lim_n g(X_n(\omega))\]
Per il teorema di Lebesgue ($g$ è limitata e quindi lo sono anche le funzioni ottenute per composizione), possiamo far passare sotto il segno di integrale i due termini di questa relazione, ottenendo (dall'arbitrarietà di $g$) la tesi.
\end{proof}

\subsection{Criterio fondamentale di convergenza debole}
Diremo che $\mc H$ è una \emph{classe densa di funzioni test per la convergenza debole} se $\forall a,b$ con $a<b$ esiste $h \in \mc H$ tale che

\[I_{]-\infty,a]}\leq h \leq I_{]-\infty,b]}\]

\begin{teo}{Criterio fondamentale di convergenza debole}\\Date $(\mu)_{n \in \enne}, \mu$ leggi su $\erre$ con funzioni di ripartizione rispettivamente\footnote{O meglio ``$\sigma$-rispettivamente''.} $F_n,F$, sia $\mc H$ una classe densa. Allora sono equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item[(a)] $\mu_n \ra \mu$ debolmente
 \item[(b)] $\forall g \in \mc H$ classe densa di funzioni test, $\int g d \mu_n \ra \int g d \mu$
 \item[(c)] $F_n \ra F$ in ogni punto in cui $F$ è continua
 \item[(d)] $F_n \ra F$ su un opportuno insieme denso in $\erre$
 \item[(e)] $F_n^{-1} \ra F^{-1}$ ovunque $F^{-1}$ è continua 
 \item[(f)] esiste $\spp$ e su di esso esistono $X_n,X$ con $X_n(P)=\mu_n$ e $X(P)=\mu$ tali che $X_n\ra X$ quasi certamente
\end{enumerate}
\end{teo}

\begin{proof}
 \begin{itemize}$\;$\\
  \item[] \emph{(a) $\RA$ (b)}: ovvio (è possibile costruire $\mc H$ anche solo contenente funzioni continue)
  \item[] \emph{(f) $\RA$ (a)}: risultato noto (Proposizione \ref{quasi certamente implica legge}).
  \item[] \emph{(b) $\RA$ (c)}: sia $x$ un punto di continuità per $F$  e $h > 0$. Possiamo trovare $f,g \in \mc H$ tali che
\[I_{]-\infty ,x-h]}\leq f \leq I_{]- \infty,x]}\leq g \leq I_{]-\infty,x+h]}\]
Da ciò deriva che 
\[\xymatrix{
&\int f d \mu_n \ar@{}[r]|{\leq } \ar[d] & F_n(x) \ar@{}[r]|{\leq } \ar[d]  & \int g d \mu_n \ar[d]  &\\
F(x-h) \ar@{}[r]|{\leq } & \int f d \mu \ar@{}[r]|{\leq } & l \ar@{}[r]|{\leq } & \int g d \mu \ar@{}[r]|{\leq }& F(x+h)}
\]
dove $l$ è un valore di aderenza per $(F_n(x))_n$, limite di una certa sottosuccessione $F_{n_k}$ (dato che $F_n(x) \in [F(x-h),F(x+h)]$, che è compatto).\\
Per $h \ra 0$, otteniamo quindi che $F(x-h)$ e $F(x+h)$ tendono a $F(x)$. Quindi $F_n(x) \ra F(x)$.
\item[] \emph{(c) $\RA$ (d)}: I punti di discontinuità di una funzione crescente sono numerabili, quindi il complementare è denso.
\item[] \emph{(d) $\RA$ (e)}: Sia $\mc H$ un insieme denso in $\erre$ su cui $F_n \ra F$. Sia inoltre $u \in (0,1)$ tale che $F^{-1}$ sia continua in $u$.\\
Prendiamo $a < F^{-1}(u) < b$: avrò $x,y \in \mc H$ tali che
\[a < x < F^{-1}(u) < y <b\]
Siccome $F$ è strettamente crescente\footnote{$F^{-1}$ è continua proprio $F$ è crescente, ovvero dove $F^{-1} \circ F$ è l'identità.}, $F(x)<u<F(y)$.\\
Ma $F_n(x) \ra F(x), F_n(y) \ra F(y) \RA F_n(x) < u < F_n(y)$ definitivamente. Quindi $F^{-1}(u) \in (a,b)$ definitivamente.
\item[] \emph{(e) $\RA$ (f)}: Siano
\[\spp= (\;]0,1[\;,\mc B(\;]0,1[\;),P)\]
\[X_n=F_n^{-1}, \;X=F\]
Allora $X_n\ra X$ quasi (secondo $P$) certamente, perché ovunque al di fuori di un insieme numerabile.
 \end{itemize}

\end{proof}

Ci sono alcune possibili famiglie $\mc H$ che si rivelano utili come classi di funzioni test:
\begin{itemize}
 \item l'insieme $\mc C_b(\erre,\erre)$ delle funzioni continue e limitate
 \item l'insieme $\mc C_b^{\infty}(\erre,\erre)$ delle funzioni limitate e $C^\infty$
 \item l'insieme $\mc Lip_n(\erre,\erre)$ delle funzioni lipschitziane e limitate
 \item $\mc H = \{f_{a,b} \mid a,b \in \qu, a<b\}$ dove
\[f_{a,b}(x)=\begin{cases}
   1 &\text{ se }x<a\\
   1-\frac{x-a}{b-a} &\text{ se }a<x<b\\
   0 &\text{ se }b<x
  \end{cases}\]%***disegno
 \item $\mc H=\{I_{]- \infty ,x]} \mid \mu\{x\}=0\}$
\end{itemize}

\begin{cor}{Unicità del limite debole}\\
 Se $(\mu_n)_{n \geq 1}$ converge debolmente verso $\mu$ e verso $\nu$, allora $\mu \equiv \nu$.
\end{cor}
\begin{proof}
 In ogni punto $x$ di continuità per $F_\mu$, si ha $F_{\mu_n}(x) \ra F_\mu(x)$ e lo stesso vale per $F_\nu$: quindi $\mu$ e $\nu$ coincidono sui punti di continuità di entrambe.\\
Sono quindi coincidenti al di fuori di un insieme trascurabile, e per la continuità a destra concludiamo che sono identiche.
\end{proof}

\begin{teo}{Teorema di Paul Lévy}\\
Sia $(\mu_n)_{n \geq 1}$ una successione di leggi su $\erre$ e $\mu$ un'altra legge su $\erre$. Sono equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item[(a)] $\mu_n \ra \mu$ debolmente
 \item[(b)] $\phi_{\mu_n} \ra \phi_\mu$ puntualmente
\end{enumerate}
\end{teo}
\begin{proof}
 \item[] \emph{(a) $\RA$ (b)}: ovvio, dato che
\[\phi_{\mu_n}(t)=\interre e^{itx} \mu_n(dx)\ra \interre e^{itx} \mu(dx)=\phi_\mu(t)\]
 \item[] \emph{(b) $\RA$ (a)}: dimostrazione inviata per email, se ho tempo l'aggiungo
\end{proof}
\begin{cor}{Iniettività della trasformazione di Fourier}\\
La funzione $\mu \mapsto \phi_\mu$ è iniettiva. 
\end{cor}
\begin{proof}
 Se $\phi_\nu = \phi_\mu$, ovvero la successione costante $\phi_\nu$ converge a $\phi_\mu$, allora $\mu$ converge (debolmente) a $\nu$, ovvero $\mu=\nu$.
\end{proof}

\subsubsection{Convergenza in probabilità}
Se ho $(X_n)_{n \geq 1}$ ed $X$ variabili aleatorie reali su $\spp$, si dice che $X_n$ converge a $X$ secondo $P$ (e si scrive $X_n \stackrel{P}{\ra} X$) se:
\[\forall \epsilon > 0 \;\;\; P\{|X_n - X|> \epsilon\}\ra 0\]

\begin{prp}
\[\underbrace{X_n \stackrel{\genfrac{}{}{0cm}{1}{\text{quasi}}{\text{certamente}}}{\longrightarrow}X}_{\text{(a)}} \RA \underbrace{X_n \stackrel{P}{\ra} X}_{\text{(b)}}  \RA \underbrace{X_n \stackrel{\text{in legge}}{\longrightarrow}X}_{\text{(c)}}\]
\end{prp}
\begin{proof}
 \begin{itemize}
  \item[] \emph{(a) $\RA$ (b)}:
\begin{align*}
 I_{|X_n - X|>\epsilon} &\leq \left (\frac{1}{\epsilon}|X_n - X|\land 1\right)\\
\RA P\{|X_n - X| > \epsilon \} &\leq E\left [1 \land \left (\frac{1}{\epsilon}|X_n - X| \right )\right] \stackrel{1}{\ra}0
\end{align*}
(\small{$\stackrel{1}{\ra}$ si giustifica osservando con il teorema di Lebesgue sulla convergenza di successioni dominate}).\\
 \end{itemize}

Per terminare la dimostrazione della proposizione abbiamo prima bisogno di qualche importante risultato intermedio.

\begin{lem}{Primo Lemma di Borel-Cantelli}\\
Dati $\spp$ e $(A_n)_{n \geq 1}$ tali che
\[\sum_{n} P(A_n) < \pnfty\]
allora $A\dfn\limsup_n A_n$ è trascurabile.\\
\end{lem}
\begin{proof}

\[S=\sum_{n \geq 1} I_{A_n} \RA A=\{S=\pnfty\}\]
\[\sum_n P(A_n)=E[S]<\pnfty \RA \{S=\pnfty\} \text{ è trascurabile}\]
 
\end{proof}

\begin{oss}\label{ossfrecciafreccia}
 Applichiamo subito questo lemma:
\[X_n \stackrel{P}{\ra} X \RA \exists (n_k)_{k \leq 1} \uparrow\uparrow \;\text{ tale che } X_{n_k} \stackrel{\text{q.c.}}{\ra} X\]
(con $\uparrow\uparrow$ si intende ``strettamente crescente'').
\end{oss}

\begin{proof}
Costruiamo (in virtù dell'ipotesi di convergenza in probabilità) una successione $n_k \uparrow\uparrow$ tale che $\forall k$:
\[P\left \{|X_{n_k} - X|> \frac{1}{k}\right\}<2^{-k}\]
Ovviamente
\[\sum_{k} P\left \{|X_{n_k} - X|> \frac{1}{k}\right\} < 1 < \pnfty\]
Applichiamo quindi il primo lemma di Borel Cantelli:
\[\limsup_k \left \{|X_{n_k} - X| > \frac{1}{k}\right \} \text{ è trascurabile }\]
\[\RA\liminf_k \left \{|X_{n_k} - X| \leq \frac{1}{k} \right \} \subset \{X_{n_k}\ra X\} \text{ è quasi certo}\] 
\end{proof}

\begin{prp}{Criterio sotto-sotto}\\
Sono equivalenti:
\begin{enumerate}
 \item \[X_n \stackrel{P}{\ra}X\]
 \item ogni sottosuccessione di $(X_n)_n$ ammette a sua volta una sottosuccessione convergente quasi certamente verso $X$
\end{enumerate}
\end{prp}
\begin{proof}
 \item[] \emph{(1) $\RA$ (2)}: se $X_n \stackrel{P}{\ra}X$, certamente per ogni sottosuccessione vale $X_{n_k} \stackrel{P}{\ra}X$. Allora, per l'osservazione \ref{ossfrecciafreccia}, $X_{n_k}$ ammette una sottosuccessione convergente quasi certamente.
 \item[] \emph{$\lnot$(1) $\RA \lnot$ (2)}: sia $\epsilon > 0$ tale che $P\{|X_n -X|>\epsilon \} \not \ra 0$.\\
Allora esistono $l$ ed una sottosuccessione $n_k \uparrow\uparrow$ tali che
\[P\{|X_{n_k} - X| > \epsilon\}\ra l \not = 0\]
e lo stesso si potrà dire per ogni sottosuccessione di $X_{n_k}$; non ne esiste quindi una convergente quasi certamente verso $X$.
\end{proof}
Abbiamo ora tutti gli elementi per dimostrare:
  \item[] \emph{(b) $\RA$ (c)}: sia $\mu=X(P)$, la tesi può essere riformulata nel seguente modo: per ogni $g$ funzione in una classe di test relativa alla convergenza debole verso $\mu$,
\[E[g(X_n)]\ra E[g(X)]\]
ovvero l'unico valore di aderenza di
\[(E[g(X_n)])_{n \geq 1}\]
è $E[g(X)]$.\\

Sia $n_k$ tale che $E[g(X_{n_k})] \ra l$; possiamo passare alla sottosuccessione convergente quasi certamente (che esiste per il criterio sotto-sotto, e che per comodità di notazione supporremo fosse $X_{n_k}$ stessa):
\[X_{n_k}\stackrel{\text{q.c.}}{\longrightarrow}X\RA X_{n_k}\stackrel{\genfrac{}{}{0cm}{1}{\text{in}}{\text{legge}}}{\longrightarrow}X\RA E[g(X_{n_k})] \ra E[g(X)]\RA E[g(X)]=l\]
\end{proof}

\begin{prp}
 Se $X$ è degenere,
\[X_n \stackrel{\genfrac{}{}{0cm}{1}{\text{in}}{\text{legge}}}{\longrightarrow}X\iff X_n \stackrel{P}{\ra}X\]
(ovvero \emph{(c) $\RA$ (b)}).
\end{prp}
\begin{proof}
 Siano $X\equiv a \RA  X(P)=D_a$ e $\mu_n=X_n(P)$. Per ogni $\epsilon >0$,
\begin{align*}
 P\{|X_n -X|> \epsilon\}&=P\{|X_n -a|> \epsilon\}\\
&=P\{X_n \in \erre \setminus [a-\epsilon, a+\epsilon]\}\\
&= \mu_n (\erre \setminus [a-\epsilon, a+\epsilon]) \ra D_a (\erre \setminus [a-\epsilon, a+\epsilon])=0
\end{align*}
\end{proof}

\subsection{Convergenza in $\mc L^p$}

Possiamo definire in generale la convergenza in $\mc L^p$ con $1\leq p < \pnfty$:
\[X_n \stackrel{\mc L^p}{\ra}X \stackrel{def}{\iff}E[|X_n-X|^p] \ra 0\]
Ad esempio consideriamo $p=1$:
\[X_n \stackrel{\mc L^1}{\ra} X \RA X_n\stackrel{P}{\ra}X\]
Infatti, per la diseguaglianza di Markov,
\[P\{|X_n - X|> \epsilon\}\leq \frac{1}{\epsilon}E[|X_n -X|]\ra0\]

\begin{lem}Sia $(\alpha_n)_{n \in \enne}$ una successione in $\ci$, convergente ad un valore $\alpha$.\\
Allora
\[\left(1 + \frac{\alpha_n}{n} \right)^n\ra e^\alpha \]
\end{lem}
\begin{proof}
 Definiamo il \emph{logaritmo principale} ad imitazione del logaritmo reale:
\[\mc Log (1+z)=z -\frac{1}{2}z^2 + \frac{1}{3}z^3\]

Per $z \ra 0$, si vede che $\mc Log(1+z)\sim z$ e
\[(1+z)=e^{\mc Log(1+z)}\]

Osserviamo che $\alpha_n \ra \alpha \RA \frac{\alpha_n}{n} \ra 0 \RA |\frac{a_n}{n}| < 1$ definitivamente.\\

Posto $z = \frac{\alpha_n}{n}$, otteniamo
\[1 + \frac{\alpha_n}{n} = e^{\mc Log(1+ \frac{\alpha_n}{n})}\RA \left (1+\frac{\alpha_n}{n}\right)^n = e^{n \mc Log(1 + \frac{\alpha_n}{n})}\]
quindi
\[n \mc Log(1 + \frac{\alpha_n}{n})\sim \frac{\alpha_n}{n} \ra \alpha \RA e^{n \mc Log(1 + \frac{\alpha_n}{n})}\ra e^\alpha\]
\end{proof}

\section{Leggi dei grandi numeri}
\subsection{Legge debole dei grandi numeri per variabili aleatorie indipendenti ed isonome}
Su $\spp$, sia $(X_n)_{n \geq 1}$ una successione di variabili aleatorie indipendenti, integrabili ed isonome.\\
Definiamo
\[a=E[X_i]\]
\[S_n=\sum_{i=1}^n X_i\]
\[Z_n=\frac{S_n - E[S_n]}{n}=\frac{S_n}{n}-a\]
Sotto le condizioni date, $Z_n \stackrel{P}{\ra} 0$.

\begin{oss}
 Nella versione \emph{forte} della stessa legge, la \emph{legge forte di Kolmogorov}, $Z_n \stackrel{\text{q.c.}}{\ra}0, Z_n \stackrel{\mc L^1}{\ra}0$
\end{oss}
\begin{oss}
 È sufficiente che le $X_i$ siano indipendenti due a due.
\end{oss}

\begin{proof}Sarà sufficiente dimostrare che $Z_n \ra 0 $ in legge, dato che il limite è una variabile aleatoria degenere e quindi
\[Z_n \stackrel{P}{\ra}0 \iff Z_n \stackrel{\genfrac{}{}{0cm}{1}{\text{in}}{\text{legge}}}{\ra}0\]

Definiamo
\[Y_n=X_n -a \RA Z_n=\frac{\sum_i Y_i}{n}\]
Sia $\phi$ la funzione caratteristica delle $Y_i$. Certamente $\phi(0)=1$; inoltre, siccome esse sono centrate,\\
$\phi'(0)=i E[Y_i]=0 \RA \phi(t)=\underbrace{1+t\epsilon(t)}_{\genfrac{}{}{0cm}{1}{\text{Taylor con resto}}{\text{di Peano}}}$ con $\epsilon(t) \stackrel{t \ra 0}{\ra}0$.\\
Di conseguenza:
\[\phi_{Z_n}(t) = [\phi_{Y_i}(t)]^n =\left [\phi\left ( \frac{t}{n}\right)\right ]^n=\left[1 + \frac{t}{n}\epsilon \left (\frac{t}{n} \right )\right]^n = \left (1 + \frac{\alpha_n}{n} \right)^n\]

$\alpha_n \ra 0 \RA \left (1+ \frac{\alpha_n}{n}\right)^n\ra e^0=1$, funzione caratteristica della costante 0.
\end{proof}

Bernoulli dimostrò questa legge nel caso particolare delle variabili aleatorie bernoulliane.

\subsection{Legge debole dei grandi numeri per variabili aleatorie a due a due non correlate}
Su $\spp$, sia $(X_n)_{n \geq 1}$ una successione in $\mc L^2$ di variabili a due a due non correlate, con
\[\sup_n Var[X_n]=c < \pnfty\]

Allora:
\[Z_n = \frac{S_n - E[S_n]}{n} \stackrel{\mc L^2}{\ra}0\]
(la convergenza in $\mc L^2$ implica poi quella in $\mc L^1$ e quindi quella in probabilità).

\begin{proof}
 La tesi è che $E[Z_n^2]\ra0$, ma osserviamo che, essendo $Z_n$ centrata,
\[E[Z_n^2]=Var[Z_n]=Var \left [\frac{S_n}{n} \right ]=\frac{1}{n^2}Var[S_n]\]
Siccome poi le variabili aleatorie sono non correlate a due a due,
\[\frac{1}{n^2}Var[S_n]=\frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n Var[X_j] \leq \frac{1}{n^2} nc=\frac{c}{n}\ra0\]
\end{proof}

\begin{oss}
 Nella versione forte di questa stessa legge, detta \emph{legge forte di Rajchman}, $Z_n \stackrel{\text{q.c.}}{\ra}0$.
\end{oss}

\begin{teo}{Teorema di Lindeberg-Lévy\footnote{Anche detto \emph{teorema del limite centrale}, dal tedesco ``Zentraler Grenzwertsatz'' - terminologia dovuta a György Pólya (1920)} (1922)}\\
 Su $\spp$, sia $\succx$ una successione in $\mc L^2$ di variabili aleatorie reali isonome, indipendenti e non degeneri.\\
Siano
\[a=E[X_i]\]
\[\sigma=\sqrt{Var[X_i]}\]
\[S_n=\sum_{i=1}^n X_i\]
\[T_n=\frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{Var [S_n]}}=\frac{S_n - na}{\sigma \sqrt{n}}\]

Allora - ed ``è un risultato che ha del miracoloso'' - $T_n \stackrel{\text{deb.}}{\ra}\mc N(0,1)$.
\end{teo}

\begin{proof}
 Definiamo
\[Y_n = \frac{X_n -a}{\sigma} \RA T_n=\frac{\sum_{i=1}^n Y_i}{\sqrt{n}}\]
Scriviamo $\phi_n = \phi_{T_n}$ e $\phi=\phi_{Y_i}$; in virtù del teorema di Paul Lévy, la tesi si può riformulare come
\[\phi_n(t)=\left [ \phi \left (\frac{t}{\sqrt{n}} \right)\right ]^n \ra e^{-\frac{1}{2} t^2}\]
Siccome ogni $Y_i$ è centrata e normalizzata, possiamo scrivere
\[\phi(0)=1, \phi'(0)=0, \phi''(0)=-1 \RA \phi(t)=1 - \frac{1}{2} t^2 + t^2 \epsilon (t)\]
dove $\epsilon(t) \stackrel{t \ra 0}{\ra}0$. Quindi:
\[\left [ \phi \left (\frac{t}{\sqrt{n}} \right)\right ]^n = \left [ 1 - \frac{1}{2} \frac{t^2}{n}+ \frac{t^2}{n}\epsilon\left ( \frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^n=\left( 1 + \frac{\alpha_n}{n} \right)^n\]
dove $\alpha_n= -\mezzo t^2 - t^2 \epsilon \left(\frac{t}{\sqrt{n}}  \right) \ra \alpha=- \mezzo t^2$.
\[\RA \left [ \phi \left (\frac{t}{\sqrt{n}} \right)\right ]^n \ra e^{- \mezzo t^2}\]
\end{proof}


Applichiamo subito questo risultato: per ogni $n \in \enne$, sia $F_n$ la funzione di ripartizione di $T_n$ e sia $\Phi$ quella di $\mc N(0,1)$: allora $F_n(x) \ra \Phi(x) \;\;\; \forall x \in \erre$.\\
Si può dimostrare anche che la convergenza è uniforme, ovvero
\[\rho_n = ||X_n- \Phi||_\infty \ra 0\]

Berry ed Essen hanno dimostrato che se la legge delle $X_i$ ha momento assoluto del III ordine finito, allora
\[\rho_n \leq A \frac{c}{\sqrt{n}}\]
dove \[c=E\left[\left | \frac{X_1-a}{\sigma}\right|^3 \right]\]

$A$ è una costante universale tra 0 e 1 di cui di anno in anno vengono date maggiorazioni sempre più efficaci.\\

\subsubsection{Approssimazione normale}
L'approssimazione fornita dal teorema di Lindeberg-Lévy ci permette di approssimare anche:
\[P\{S_n \leq x_n\}=P\left \{ \frac{S_n - na}{\sigma \sqrt{n}} \leq \frac{x -na}{\sigma \sqrt{n}}\right\}= F_n\left ( \frac{x_n - na}{\sigma \sqrt{n}}\right)=\Phi\left ( \frac{x_n - na}{\sigma \sqrt{n}}\right)+ \epsilon_n (x_n)\]
dove $|\epsilon_n(x_n)|\leq \rho_n$.\\

\begin{oss}Consideriamo $\succx, X$ su $\spp$ e sia $Q \ll P$. Allora:
\[X_n \stackrel{P}{\ra}X \RA X_n \stackrel{Q}{\ra}X\]
\end{oss}
\begin{proof}
 Per il criterio sotto-sotto, esiste una sottosuccessione $(X_{n_k})_k$ che converge verso $X$ quasi (secondo $P$) certamente e quindi quasi certamente anche secondo $Q$.
\end{proof}

Consideriamo ora $X$ su $\spp$ a valori in $\spm$ e $(Y_n)_n$ a valori reali tale che $Y_n \stackrel{P}{\ra} Y$.\\
Supponiamo che le $Y_n$ siano tutte indipendenti da $X$. Allora $Y$ è indipendente da $X$.
\begin{proof}
 Consideriamo $H \in \tau(X)$ tale che $P(H) \not = 0$ e quindi abbia senso $P_H=P(\cdot | H)$.\\
So che $Y_n(P_H)=Y_n(P)$; di conseguenza

\[\begin{cases}
   Y_n(P) \stackrel{\text{deb.}}{\lra} & Y(P)\\
   \;\;\;\;|| & \\
 Y_n(P_H) \stackrel{\text{deb.}}{\lra} & Y(P_H)
  \end{cases}
\RA Y(P)=Y(P_H)\]
Dall'arbitrarietà di $H \in \tau(X)$ deriva che $Y$ è indipendente da $X$.
\end{proof}

Un'altra applicazione del teorema di Lindeberg-Lévy è la seguente: date $\succx, X$, sia $f \in \mc C(\erre,\erre)$. Allora
\begin{itemize}
 \item $X_n \stackrel{\genfrac{}{}{0cm}{1}{\text{in}}{\text{legge}}}{\ra} X \RA f(X_n) \convinl f(X)$\\
Infatti, data $g$ funzione test,
\[E[(g \circ f)(X_n)]\ra E[(g \circ f)(X)]\]

Un risultato simile vale per la convergenza in probabilità e quella quasi certa:
 \item $X_n \stackrel{P}{\ra}X \RA f(X_n) \stackrel{P}{\ra} f(X)$, sempre perché per il criterio sotto-sotto trovo $n_k \uparrow \uparrow$ e avente una sottosuccessione convergente quasi certamente.
 \item $X_n \stackrel{\text{q.c.}}{\ra} X \RA f(X_n) \stackrel{\text{q.c.}}{\ra} f(X)$ (ovvio)
\end{itemize}
\subsection{Secondo Lemma di Borel-Cantelli } 
Su $\spp$, sia $(A_n)_{n\geq1}$ una successione di eventi a due a due indipendenti.\\
Supponiamo
\[\sum_{n} P(A_n) = \infty\]
allora\footnote{La formulazione del lemma qui riportata è dovuta a Erdős e Rényi} $\limsup_n A_n$ è quasi certo.\\
\begin{proof}
 Sia
\[S_n= \sum_{i=1}^n I_{A_i}\]
Allora
\[E[S_n] = \sum_{i=1}^n P(A_i) \ra \pnfty\]
ma
\[\frac{S_n}{E[S_n]} \stackrel{\mc L^2}{\ra}1\text{ ;}\]
infatti
\[E\left[ \left ( \frac{S_n}{E[S_n]} -1\right)^2\right]=Var\left[\frac{S_n}{E[S_n]}\right ]=\frac{Var[S_n]}{E[S_n]^2}\]

Siccome poi le funzioni indicatrici degli eventi sono indipendenti,
\begin{align*}
\frac{Var[S_n]}{E[S_n]^2}&=\frac{1}{E[S_n]^2} \sum_{i=1}^n Var[I_{A_i}]\\
& \leq \frac{1}{E[S_n]^2} \sum_{i=1}^n E[I_{A_i}]\\
&=\frac{E[S_n]}{E[S_n]^2}\\
&=\frac{1}{E[S_n]}\downarrow 0
\end{align*}
Questo implica che c'è anche convergenza in probabilità e che quindi esiste inoltre una sottosuccessione convergente quasi certamente:
\[\frac{S_{n_k}}{E[S_{n_k}]} \stackrel{\text{q.c.}}{\ra} 1\]
per quasi ogni $\omega$,
\[S_{n_k}(\omega) \sim E[S_{n_k}] \ra \pnfty \]

$S_n(\omega) \uparrow \infty$
quindi per quasi ogni $\omega$
\[\sum_{i \geq 1} I_A = \infty \]
e di conseguenza $\limsup_n A_n$ è quasi certo.\\
\end{proof}

Quindi, nel caso in cui $(A_n)_{n \geq 1}$ sia una successione di eventi indipendenti, $\limsup_n (A_n)$, che è terminale rispetto a $(I_{A_n})$, è degenere e la legge 0-1 di Kolmogorov è completata dai due lemmi che abbiamo visto.\\

Tornando al caso di una successione $\succx$ di variabili aleatorie, ricordiamo che
\[\underbrace{X_n \stackrel{\genfrac{}{}{0cm}{1}{\text{quasi}}{\text{certamente}}}{\longrightarrow}X}_{\text{(a)}} \RA \underbrace{X_n \stackrel{P}{\ra} X}_{\text{(b)}}  \RA \underbrace{X_n \stackrel{\text{in legge}}{\longrightarrow}X}_{\text{(c)}}\]

Dimostriamo che \emph{(b) $\not \ra$ (a)}:\\
sia $X=0$, $X_n=I_A$ con $A_n$ successione di eventi a due a due indipendenti tali che
\[P(A_n)=\frac{1}{n} \RA \sum_{n} P(A_n) = \pnfty \]
Ovviamente $X_n \stackrel{\text{P}}{\ra} X$, perché $\{ X_n > \epsilon \} = A_n$, con $\epsilon \in (0,1)$.\\
$\{X_n \not \ra 0\}=\limsup_n A_n$ è quasi certo, quindi è plateale che $X_n \stackrel{\text{q.c.}}{\not \ra}X$.\\


Si dimostra facilmente anche che in generale \emph{(c) $\not \ra$ (b)}.\\


La convergenza in probabilità è una convergenza deducibile da una topologia?\\
Sì, e addirittura da una quasi-metrica, ovvero uno spazio provvisto di una funzione che rispetti tutti gli assiomi di distanza tranne $d(x,y)=0 \iff x=y$.\\

\begin{proof}
Dato $\spp$, sia $\mc L_0$ lo spazio vettoriale delle variabili aleatorie su $(\Omega, \mc A)$.\\
Per $X,Y \in \mc L_0$, definiamo $d(X,Y)=E[|X-Y|\land 1]$.\\
\end{proof}
\begin{oss}
Quella definita non è una misura perché appunto
\[d(X,Y)=0 \iff X \sim Y (\mod P) \text{ .}\]

Questo spazio topologico non è localmente connesso, quindi non ci sono funzionali continui non banali.
\end{oss}


La convergenza quasi certa invece è deducibile da una topologia?\\
No: se $X_n \stackrel{P}{\ra} X$ ma $X_n \stackrel{\text{q.c.}}{\not \ra} X$, la successione viola una proprietà di \emph{tutte} le convergenze topologiche, e cioé che per ogni $U$ intorno di $x$ la successione sta definitivamente in $U$.\\


\subsubsection{Applicazione della legge dei grandi numeri per variabili aleatorie indipendenti ed isonome ad un processo di Poisson}
Su $\spp$, consideriamo una successione $\succx$ di variabili aleatorie reali indipendenti di comune legge $\mc E(\lambda)$.\\
Sia come al solito $S_n = X_1 + \dots X_n$ e $\forall t \in \erre^+$ definiamo:
\[N_t = \sum_{n \geq 1} I_{S_n \leq t}\]
$N_t$ è una variabile discreta a valori in $\enne \cup \{\infty \}$.\\
$P\{N_t = \infty\}=0$; lo si dimostrava calcolando $P\{N_t =n\}$ e trovando
\[\sum_{n} P\{N_t=n\}=1\text{ .}\]

Una dimostrazione più diretta consiste nell'osservare che
\[\{N_t = \infty\}=\{\sup_n S_n \leq t\}\]
\[\frac{S_n - na}{n} \stackrel{\text{q.c.}}{\ra}0\text{, ovvero }\frac{S_n}{n} \stackrel{\text{q.c.}}{\ra} a\text{ ,}\]
 
quindi, per quasi ogni $\omega$,
\[S_n(\omega)\sim n a \RA S_n(\omega) \uparrow \infty\]
ovvero $\{\sup_n S_n \leq t\}$ è trascurabile.

\begin{oss}
\[N_{s, s+t}= \sum_{n \geq 1} I_{s < S_n \leq s+t}\]
Supponiamo di sapere che $\forall s \;\;\; E[N_{s,s+t}]=\lambda \cdot t$; allora
\[\frac{N_n}{n} \stackrel{\text{q.c.}}{\ra} \lambda \text{ .}\]
Infatti $N_n=N_{0,1}+N_{1,2}+ \dots + N_{n-1, n}$, e per la legge forte di Kolmogorov $\frac{N_n}{n}-\lambda\stackrel{\text{q.c.}}{\ra}0$.
 
\end{oss}

\begin{oss}{Relazione di Bernstein}
\[\sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!} \stackrel{n \ra \pnfty }{\sim} \mezzo e^n \]
ovvero
\[e^{-n} \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!} \ra \mezzo\]
\end{oss}
\begin{proof}
$N_n(P)\sim\mc P(n)$
\[e^{-n} \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!} = P\{N_n \leq n\}= \sum_{k=0}^n P\{N=k\} \]

Ma $N_n=N_{0,1}+N_{1,2}+ \dots$ come posso applicare il teorema di Lindeberg-Lévy?\\
\begin{align*}
S_n=\frac{N_n -n}{\sqrt n} \RA P\{N_n \leq n\} &= P\{S_n \leq 0\} \\
&= F_n(0) \ra \Phi(0)=\mezzo \text{ per ragioni di simmetria.}
\end{align*}
\end{proof}

\subsubsection{Un caso particolare di convergenza debole}
Sia $H\subset \erre$ costituito solo di punti isolati e consideriamo una successione $(\mu_n)_{n \geq 1}$ di misure concentrate su $H$.\\
$H$ è numerabile e quindi boreliano. Allora sono equivalenti:
\begin{enumerate}
\item[(a)] $\mu_n \stackrel{\text{deb.}}{\ra}\mu$
\item[(b)] $\mu_n\{x\} \ra \mu\{x\} \;\;\; \forall x \in H$
\item[(c)] \[\sup_{A \in \mc B(\erre)} |\mu_n (A) -\mu(A)|\stackrel{n \ra \pnfty}{\ra} 0\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\item \emph{(a) $\RA$ (b)}: se $x \in H$, esisteranno $a,b$ tali che $[a,b] \cap H = \{x\}$. Per ipotesi,
\[\mu_n([a,b])\ra \mu([a,b])\]
Ma $\mu_n([a,b])=\mu_n\{x\}\ra \mu\{x\}$.
\item \emph{(b) $\RA$ (c)}: sia $\lambda=\sum_{x \in H} D_x$. Sappiamo che
\[\mu=f\cdot \lambda, \mu_n=f_n \cdot \lambda\]
dove
\[f(x)=\mu\{x\}, f_n(x)=\mu_n\{x\}\]
e, per il teorema di Scheffé, che $f_n$ converge a $f$ $\lambda$-quasi certamente. Quindi
\[f_n \stackrel{\mc L^1(\lambda)}{\ra}f \RA \int |f_n - f| d\lambda \ra 0 \RA \text{(c)}\]
\item \emph{(a) $\RA$ (b)}: essendoci convergenza uniforme sui boreliani,
\[F_n(x)=\mu_n(\;]- \infty, x]) \ra \mu(\;]- \infty, x])=F_x\]
\end{proof}

\subsubsection{Trasformate di Fourier di leggi note}
\begin{itemize}
\item	Bernoulli $\mc B(1,p)$: $\phi(t)=pe^{it} + (1-p)=1+p(e^{it}-1)$ \\
\item	Binomiale $\mc B(n,p)$: $\phi(t)=[1+p(e^{it}-1)]^n $ \\
\item	Poisson $\mc P(\lambda)$: $\phi(t)=\sum_{n \geq 0} e^{- \lambda}\frac{\lambda^n}{n!} e^{itn} = e^{- \lambda}\sum_{n \geq 0} \frac{(\lambda e^{itn})^n}{n!} = exp[\lambda (e^{itn}-1)]$\\
\end{itemize}


Sia $\mu_n=\mc B(n,p_n)$ una successione di leggi su $\mc B(\erre)$ (ovviamente concentrate su $\enne$) con $p_n$ successione in $(0,1)$ tale che $np_n \ra \lambda \in \;]0 < \infty[$.\\
Allora $\mu_n \stackrel{\text{deb.}}{\ra} \mc P(\lambda)$. Infatti:
\[\phi_n(t) =[1+p_n(e^{it}-1)]^n=\left[1+ \frac{np_n(e^{it}-1)} n \right]^n=\left(1+\frac{\alpha_n} n \right)^n\]
dove $\alpha_n=n p_n(e^{it}-1)\ra \lambda(e^{it}-1)$. Quindi
\[\phi_n(t) \ra \exp[\lambda(e^{it}-1)]\]
\begin{oss}
Quello che sapevamo già era che $\forall k \in \enne$
\[\mu_n \{k\} \ra \mc P(\lambda)\{k\}\]
\end{oss}

\subsection{Indipendenza e stazionarietà degli incrementi in un processo di Poisson}
Su $\spp$, consideriamo $\succx$ successioni di variabili aleatorie reali positive e sia
\[N_t = \sum_{n \geq t} I_{\{S_n \leq t\}} \text{, dove }S_n=\sum_{i=1}^n X_i\]

$N_t$ si dice \emph{processo di conteggio associato a $\succx$}. Noi ne abbiamo visto solo un caso particolare, il processo di Poisson: le $X_n$ hanno legge $\mc E(\lambda)$. Allora, dato $s \in \erre^+$,
\[N_s=\sum_{n \geq 1} I_{S_n \leq s}\]
Supponendo $\{N_s < \infty\}=\Omega$, definiamo
\[N_{s, s+t}=\sum_{n \geq 1} I_{s < S_n < s+t}\] %***disegno

Sia $M=[N_{s,s+t}]_{t \in \erre^+}$, definiamo $Y_1$, il "tempo che separa $s$ dal successivo guasto", per rincollamento:
\[Y_1|_{\{N_s=n\}=\{S_n \leq s < S_{n+1}\}}=S_{n+1}-s=X_{n+1}-(s-S_n)\]
ovvero
\[Y_1=\sum_{n \geq 0} I_{\{N_s=n\}}(X_{n+1}-(s-S_n))\]

Similmente, $Y_2$ sarà il tempo da attendere per il secondo guasto e, in generale,
\[\forall k \geq 2\;\;\;\; Y_k =\sum_{\{n \geq 0\}} I_{N_s = n} X_{n+k}=X_{N_s + k}\]
$[N_{s,s+t}]$ è quindi il processo di conteggio associato alla successione
\[Y_1 + \dots + Y_k \leq t\]
\begin{prp}
Le $Y_i$ sono tutte esponenziali di parametro $\lambda$
\end{prp}
\begin{proof}
È sufficiente dimostrare che, fissato $k \in \enne^*$, $Y_1 \dots Y_k$ è una $k$-upla di variabili aleatorie indipendenti di legge $\mc E(\lambda)$. Possiamo farlo sfruttando il criterio delle basi: $\{\;]t, \pnfty[\;\}_{t \in \erre^+}$ è una base dei boreliani; basta quindi dimostrare che
\[P\{Y_1 > t_1, Y_2 > t_2 \dots Y_k > t_k\}=e^{- \lambda (t_1 + \dots + t_k)}\]

Vorremmo però anche dimostrare che $[Y_k]_{k \geq 1}$ è indipendente da $N_s$.\\
È sufficiente che per ogni $H \in \tau(N_s)$ della forma $H=\{N_s = n\}$, la legge di $[Y_k]_{k \geq 1}$ secondo $P_H$ sia identica a $\mc E(\lambda) \otimes \mc E(\lambda) \dots$, ovvero che 
\[P_H\{Y_1 > t_1, \dots Y_k > t_k\} =e^{\lambda(t_1 + \dots + t_k)}\]
Ma $H=\{S_n \leq s, X_{n+1} > s - S_n\}=\{S_n \leq s, X_{n+1}-(s-S_n)>0\}$ e, ricordando che sotto l'ipotesi $S_n=n$ si ha $Y_1=X_{n+1} - (s-S_n)$,
\begin{align*}
P_H\{Y_1 > t_1, \dots Y_k > t_k\}&=\frac 1 {P(H)} P\{S_n \leq s, X_{n+1} - (s-S_n)>t_1, X_{n+2}> t_2, \dots , X_{n+k}>t_k\}\\
&=\frac 1 {P(H)} P\{S_n \leq s, X_{n+1} - (s-S_n)>t_1\} \cap \{X_{n+2}> t_2, \dots , X_{n+k}>t_k\}\\
&=\frac 1 {P(H)} P\{S_n \leq s, X_{n+1} - (s-S_n)>t_1\} e^{- \lambda (t_2 + \dots + t_k)}
\end{align*}

Dobbiamo quindi dimostrare che
\[\frac{1}{P(H)} P\{S_n \leq s, X_{n+1} > (s + S_n) + t_1\}=e^{- \lambda t_1}\]
Ma $[S_n,X_{n+1}](P)=\mu \otimes \mc E(\lambda)$ con $\mu=\Gamma(n, \lambda)$, e possiamo studiare %***disegno
\[\frac{1}{P(H)}P\{[S_n,X_{n+1}] \in A\} \text{ ,}\]
dove
\[A=\{(x,y) \mid 0 \leq x \leq s, y > s-x+t_1\} \text{ :}\]
\begin{align*}
\frac{1}{P(H)}(\mu \otimes \mc E(\lambda))(A)=&\frac{1}{P(H)} \int_{[0,s]} \mc E(\lambda)(]s- x+ t_1])\mu(dx)\\
=&\frac{1}{P(H)} \int_{[0,s]} e^{-\lambda (s-x+t_1)}\mu(dx)\\
=&e^{-\lambda t_1} \frac{\int_{[0,s]} e^{-\lambda(s-x)} \mu(dx)}{P(H)} \\
=&e^{- \lambda t} \frac{P(H)}{P(H)}
\end{align*}
Abbiamo quindi dimostrato che $[N_{s,s+t}]$ è il processo di conteggio associato a $(Y_k)_{k \geq 1}$ e quindi:
\begin{enumerate}
\item è indipendente da $N_s$, perché tale è $[Y_k]_{k \geq 1}$ 
\item è un processo di Poisson perché $[Y_k]_{k \geq 1} (P)\sim\mc E(\lambda)^{\otimes \enne^*}$
\end{enumerate}

\end{proof}

\subsubsection{Formulazione equivalente}
Sia $N=[N_t]_{t \in \erre^+}$: allora $N_{s, s+t}=N_{s+t}-N_s$ è l'incremento del processo $N$ relativo a $]s,s+t]$.\\
Se $J_1, \dots, J_k$ sono intervalli consecutivi, i relativi incrementi sono indipendenti e di leggi $\mc P(\lambda | J_k|)$.

\begin{proof}
per induzione: il caso $n=1$ è ovvio.\\
Passo induttivo: gli incrementi di $N$ relativi a $J_1 \dots J_k$ formano una $n-1$-upla di incrementi del processo $M=[N_{s,s+t}]_{t \in \erre^+}$.\\
Applicando l'ipotesi induttiva a $M$, troviamo che il blocco di incrementi è indipendente da $N_s$ (cioé dall'incremento di $N$ relativo a $J_1$)
\end{proof}

\begin{oss}
Se $J_1\dots J_n$ non fossero contigui, li potrei comunque vedere come una sottofamiglia di contigui: l'importante è che siano disgiunti.
\end{oss}

Abbiamo visto che $[N_{s,s+t}]$ è indipendente da $N_s$. Ma è indipendente anche da $[N_r]_{0 \leq r \leq s}$; si verifica facilmente osservando che è indipendente rispetto agli incrementi (che generano la stessa tribù).\\

\subsection{Passeggiate aleatorie}
Su $\spp$, sia $\succx$ una successione di variabili aleatorie indipendenti ed isonome.\\
Definiamo $S_n=X_1+ \dots X_n$ (e $S_0=0$). Allora $(S_n)_{n \geq 0}$ è la \emph{passeggiata aleatoria}\footnote{È la tipica passeggiata di un ubriaco: casuale e \emph{senza memoria}.} su $\erre$ associata a $\succx$.\\
Sia $\mu$ la legge di $X_i$: quale sarà una versione della legge condizionale di $S_{n+1}$ rispetto al blocco $[S_1 \dots S_n]$?\\
Semplice: siccome $S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$, con $X_{n+1}$ indipendente da $[S_1 ,\dots  ,S_n]$,
\[((\nu_{(s_1 \dots s_n)}))_{(s_1 \dots s_n) \in \erre^n}\]
dove, $\forall (s_1 \dots s_n) \in \erre^n, \;\;\; \nu_{(s_1 \dots s_n)}$ è l'immagine di $\nu$ mediante la funzione
\[x \mapsto x_n + x\]

Dato che $S_n$ è costante, l'indipendenza è garantita e una versione della legge condizionale è $D_{s_n} * \mu$: questo è un caso speciale della proprietà di Markov (ovvero del fatto che gli stati futuri dipendono da quello presente ma non da quelli passati).\\

L'ambiente della generica passeggiata aleatoria è un gruppo topologico.
\begin{smp}
\[U=\{z \in \ci \mid |z| =1 \}\]
$X_i$ avrà valori in $U$
\[T_n = \prod_{i=1}^n X_i\]
L'immagine della ripartizione uniforme su $[0,2 \pi[$ ottenuta tramite $t \mapsto e^{it}$ è una \emph{misura di Haar}, ovvero è invariante per traslazione\footnote{L'importanza di questa categoria di misure è legata al fatto che l'invarianza le rende papabili per una definizione di \emph{volume}.}\\

Qual'è una versione della legge condizionale di $T_{n+1}$ rispetto a $[T_1 \dots T_n]$?
\[T_{n+1}=T_n X_{n+1}\]

$\nu_{t_1 \dots t_n}$ è l'immagine di $\lambda$ mediante $x \mapsto t_n x$, ovvero $\lambda$.\\
Il blocco dei passi e quello della passeggiata sono isonomi (c'è assoluta assenza di memoria).
\end{smp}
\begin{smp}
Su $\erre$, sia $X_1(P)=\mu \not = D_0$. Posto
\[D=\sup_n S_n - \inf_n S_n \text{ ,}\]
dimostriamo che $D \sim \pnfty (\mod P)$; si può fare sfruttando il paradosso di Borel:\\
\[\exists \delta >0 : \mu(\erre \setminus [-\delta,\delta]) \not = 0\]
Sia $h \in \enne^*$; l'insieme
\[A_h \dfn \bigcup_{n \in \enne} \{X_{n+1}> \delta, X_{n+2}> \delta \dots X_{n+h} > \delta\}\]
è quasi certo e lo è quindi anche l'intersezione al variare degli $h$. Ma $A_h \subset \{D \geq h\delta\}$ e quindi
\[\bigcap_{h \in \enne} A_h \subset \bigcap_{h \in \enne} \{D \geq h\delta\} \subset \{D=\pnfty\}\text{ ,}\]
ovvero $D$ è quasi certamente $\pnfty$.\footnote{Dopo queste ultime parole, è scattato l'applauso.}
\end{smp}


\end{document}
