Good Morgning all.
Let's have a look to the page https://it.wikitolearn.org/Corso:Calcolo_Numerico_I1/Esercizi_conclusivi/Esercizi_sui_metodi_del_punto_fisso
A part f its source is:
\begin{description}
\item[Punti fissi]:
\[ x_f = (1-a) x_f+1 \]
\[ x_f = x_f-a x_f+1 \]
\[ -a x_f+1 =0 \]
\[ x_f = 1/a\]
e questo è l'unico punto fisso.
\item[Ordine di convergenza]:
\[ \phi'(x) = (1-a)\]
quindi il metodo converge se $|1-a| < 1$, cioè
\[ -1<1-a<1\]
\[ 1-az1, \, \implies \, a>0\]
\[ -1<1-a \, \implies \, a<2\]
quindi il metodo converge se $a \in (0,2)$.
\par In particolare, se $a \neq 1$, l'ordine di convergenza è 1.
\item \emph{Analisi dell'errore}:
\[ E_k = x_k-1/a\]
\[E_{k+1} = |x_{k+1}-\a| = f(x_k)-\a = (1-a)x_k+1-1/a \]
\[= x_k-1/a-a x_k+1 = E_kk-a(x_k-1/a) = (1-a) E_k\]
e se $|1-a| <1$ l'errore si riduce.
\item \emph{Studio della convergenza nei vari casi}: $f$ è una retta, che interseca la bisettrice del primo e terzo quadrante nel punto fisso $(1/a,1/a)$.
Inoltre la retta interseca l'asse delle ascisse nel punto $(1/(a-1),0)$.
\par il comportamento del metodo dipende dal valore di $a$:
\begin{itemize}
\item se $a<1$, la retta ha coefficiente angolare positivo e minore di quello della bisettrice, e si ha che il metodo converge per ogni scelta di $x_0$, infatti, se $x_0<1/a$ si ha $\phi(x_k)>x_k$ e la successione è monotona crescente e limitata da $17a$, invece se $x_0>1/a$ la successione è monotona decrescente e limitata.
\item Se $a>1$, la retta ha coefficiente angolare negativo e minore di quello della bisettrice ($a<2$). Per ogni $x_0$, si ha la convergenza alternata.
\end{itemize}
\end{description}this is rendered in
{{InizioEsercizio|titolo=|number=8.9|anchor=Esercizio8_9}}
Dato il metodo del punto fisso<math display="block">x_{k+1} = (1-a) x_k+1</math>Analizzare convergenza e velocità di convergenza.
{{FineEsercizio}}
;Punti fissi:<math display="block">x_f = (1-a) x_f+1</math><math display="block">x_f = x_f-a x_f+1</math><math display="block">-a x_f+1 =0</math><math display="block">x_f = 1/a</math>e questo è l'unico punto fisso.
;Ordine di convergenza:<math display="block">\phi'(x) = (1-a)</math>quindi il metodo converge se <math>|1-a| < 1</math>, cioè<math display="block">-1<1-a<1</math><math display="block">1-az1, \, \longrightarrow \, a>0</math><math display="block">-1<1-a \, \longrightarrow \, a<2</math>quindi il metodo converge se <math>a \in (0,2)</math>.
In particolare, se <math>a \neq 1</math>, l'ordine di convergenza è 1.
;:''Analisi dell'errore'':
<math display="block">E_k = x_k-1/a</math><math display="block">E_{k+1} = |x_{k+1}-\alpha| = f(x_k)-\alpha = (1-a)x_k+1-1/a</math><math display="block">= x_k-1/a-a x_k+1 = E_kk-a(x_k-1/a) = (1-a) E_k</math>e se <math>|1-a| <1</math> l'errore si riduce.
;:''Studio della convergenza nei vari casi'': <math>f</math> è una retta, che interseca la bisettrice del primo e terzo quadrante nel punto fisso <math>(1/a,1/a)</math>.
Inoltre la retta interseca l'asse delle ascisse nel punto <math>(1/(a-1),0)</math>.
il comportamento del metodo dipende dal valore di <math>a</math>:
*se <math>a<1</math>, la retta ha coefficiente angolare positivo e minore di quello della bisettrice, e si ha che il metodo converge per ogni scelta di <math>x_0</math>, infatti, se <math>x_0<1/a</math> si ha <math>\phi(x_k)>x_k</math> e la successione è monotona crescente e limitata da <math>17a</math>, invece se <math>x_0>1/a</math> la successione è monotona decrescente e limitata.
*Se <math>a>1</math>, la retta ha coefficiente angolare negativo e minore di quello della bisettrice (<math>a<2</math>). Per ogni <math>x_0</math>, si ha la convergenza alternata.that is transformed by latexer into
\begin{description}
\item[{Punti fissi}]\[x_{f}=(1-a)x_{f}+1\]
\[x_{f}=x_{f}-ax_{f}+1\]
\[-ax_{f}+1=0\]
\[x_{f}=1/a\]
e questo è l'unico punto fisso.
\end{description}
\begin{description}
\item[{Ordine di convergenza}]\[\phi '(x)=(1-a)\]
quindi il metodo converge se
$|1-a|<1$
, cioè
\[-1<1-a<1\]
\[1-az1,\,\longrightarrow \,a>0\]
\[-1<1-a\,\longrightarrow \,a<2\]
quindi il metodo converge se
$a\in (0,2)$
.
\end{description}
In particolare, se
$a\neq 1$
, l'ordine di convergenza è 1.
\begin{description}
\item[{\parbox{\columnwidth}{\begin{quote}
\emph{Analisi dell'errore}:
\end{quote}
}}]\end{description}
\[E_{k}=x_{k}-1/a\]
\[E_{k+1}=|x_{k+1}-\alpha |=f(x_{k})-\alpha =(1-a)x_{k}+1-1/a\]
\[=x_{k}-1/a-ax_{k}+1=E_{k}k-a(x_{k}-1/a)=(1-a)E_{k}\]
e se
$|1-a|<1$
l'errore si riduce.
\begin{description}
\item[{\parbox{\columnwidth}{\begin{quote}
\emph{Studio della convergenza nei vari casi}:
$f$
è una retta, che interseca la bisettrice del primo e terzo quadrante nel punto fisso
$(1/a,1/a)$
.
\end{quote}
}}]\end{description}
Inoltre la retta interseca l'asse delle ascisse nel punto
$(1/(a-1),0)$
.
il comportamento del metodo dipende dal valore di
$a$
:
\begin{itemize}
\item{}se
$a<1$
, la retta ha coefficiente angolare positivo e minore di quello della bisettrice, e si ha che il metodo converge per ogni scelta di
$x_{0}$
, infatti, se
$x_{0}<1/a$
si ha
$\phi (x_{k})>x_{k}$
e la successione è monotona crescente e limitata da
$17a$
, invece se
$x_{0}>1/a$
la successione è monotona decrescente e limitata.
\item{}Se
$a>1$
, la retta ha coefficiente angolare negativo e minore di quello della bisettrice (
$a<2$
). Per ogni
$x_{0}$
, si ha la convergenza alternata.
\end{itemize}We bserve that somehow the latexer recognise the usage of the description environment, but it thinks that they are separate calls of the environment. This is however not harmful.
The problem arises in:
\begin{description}
\item[{\parbox{\columnwidth}{\begin{quote}
\emph{Analisi dell'errore}:
\end{quote}
}}]\end{description}the new lines are baaaad! It should be
\begin{description}
\item[{\parbox{\columnwidth}{\begin{quote}\emph{Analisi dell'errore}:\end{quote}}}]
end{description}Conclusion: when an item of a description is emphasised, the latexer introduces some new lines that break the rendering in pdf.